📘 《AI 時代系列（6）：進階通訊工程——邁向2035年太空星鏈網路時代》
9/100 第一週：📌 🌐 破解通訊世界的語言：AI × 通訊的數學底層
9. 馬可夫鏈與通道模型
Markov Chains & Memory Channels：通道有記憶時，系統怎麼設計？
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🎯 單元導讀
在上一單元，我們把噪聲分成：
✔ WSS（平寬平穩）
✔ 白噪聲（AWGN）
✔ 窄帶噪聲（NBI）
但噪聲只是「汙染訊號」。
真正把通訊變困難的，是 —— 通道本身會記住過去。
📌 若通道的狀態會依「前一個狀態」改變，那麼它不再是記憶無關的 AWGN，而是：
👉 記憶性通道（Channels with Memory）
最常見的數學工具就是：
⭐ 馬可夫鏈（Markov Chain）
本單元就是要把：
通道 = 馬可夫鏈 + 噪聲模型
徹底講清楚。
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🧠 一、為什麼需要馬可夫鏈？
一般 AWGN 模型假設：
通道每次輸出都獨立，不受前一個符號影響
但真實無線系統常常不是這樣，尤其是：
• 高速移動（捷運、客運、HST）
• 多路徑深衰落（Rayleigh/Rician）
• 阻擋物周期性出現（人群、樑柱、車廂）
• 低軌衛星（LEO）高速切換波束
• FR3（7–24 GHz）超級敏感的阻擋
→ 這些都會讓通道產生持續性，而非獨立抽樣。
📌 通道有記憶 → 必須用馬可夫鏈描述。
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🧠 二、記憶性通道（Channel with Memory）定義
若通道的狀態 S(t) 滿足：
P(S(t) | S(t−1), S(t−2), …, S(0)) = P(S(t) | S(t−1))
則稱為 一階馬可夫通道（First-Order Markov Channel）
代表：
✔ 通道下一個狀態只依賴「上一個」
✔ 不會依賴更久以前的狀態
✔ 計算量巨大降低，適合 5G/6G 系統分析
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🔗 三、著名的馬可夫通道：Gilbert–Elliott Model
全世界最常用的記憶性通道模型：
⭐ Gilbert–Elliott 通道（GE Channel）
它將通道分成兩種狀態：
● G（Good）狀態
• 含義：通道品質良好（Good State）
• Bit Error：低錯誤率 P₍g₎
• 用途：一般無線傳輸、視線可及路徑（LOS）
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● B（Bad）狀態
• 含義：通道品質不佳（Bad State）
• Bit Error：高錯誤率 P₍b₎
• 用途：遮蔽、阻擋物、深衰落、NLOS 情況
狀態轉移用馬可夫鏈表示：
+-------+ q +-------+
| G | --------> | B |
| good | <-------- | bad |
+-------+ p +-------+
上述的 ASCII 圖示描述了一個典型的 一階馬可夫通道（Gilbert–Elliott Model）。通道在兩個狀態之間轉換：G（Good） 與 B（Bad）。箭頭上的參數表示「狀態轉移機率」。其中，從 Good 轉到 Bad 的機率為 q，表示通道突然受到遮蔽或干擾；從 Bad 回到 Good 的機率為 p，則代表通道重新回復視線傳輸或較佳的環境。因為這個過程只依賴前一個狀態 S(t−1)，因此屬於一階馬可夫性，能有效描述無線通道中的深衰落、遮蔽與時間相關的錯誤行為，是 5G/6G 通道建模與 AI Receiver 訓練資料中常用的重要模型。
✔ p：B → G（通道變好）
✔ q：G → B（通道變壞）
轉移矩陣：
P = [ 1 − q q
p 1 − p ]
轉移矩陣 P 描述了通道從現在到下一時刻的「變好」或「變壞」的機率，是馬可夫通道模型的核心，決定 BER、錯誤持續時間與 AI Receiver 的資料生成方式。
這就是最典型的「通道有記憶」的模型。
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📡 四、馬可夫鏈如何描述真實無線通道？
1️⃣ 小尺度衰落（Rayleigh）
深衰落出現後，通常會維持一段時間 → 記憶性
→ 可用 GE 模型中的「bad state」表示
2️⃣ Shadowing（慢衰落）
人群、樑柱、車門 → 遮蔽時間長、具有連續性
→ 用「狀態停留時間」描述
3️⃣ 高速移動（Doppler effect）
Doppler shift 會讓通道的相關性變成：
Rh(τ)=J0(2πfDτ)R_h(\tau) = J_0(2\pi f_D \tau)Rh(τ)=J0(2πfDτ)
→ 這種時間相關性本質就是一種馬可夫過程近似
4️⃣ OFDM 實務：子載波群被一起破壞
多條子載波會同時進入「bad state」
→ 多維馬可夫鏈（Block Fading）
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🧠 五、馬可夫通道對接收機造成的影響
1️⃣ ML / MAP 變得困難
因為錯誤不是獨立的
→ 需要考慮狀態序列 S(t)
→ 計算量爆炸
2️⃣ 需要使用「序列式接收機」
✔ Viterbi Decoder
✔ BCJR（MAP）
✔ HMM（Hidden Markov Model）估測通道
這些其實就是：
📌 馬可夫鏈 + 噪聲模型 = HMM（隱馬可夫模型）
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🤖 六、記憶性通道與 AI Receiver
AI 接收機 (AI-based Detector) 的 Loss 其實等價於：
L = ‖ y − Hx ‖² + λ · Ω(S)
其中 Ω(S) 是「通道狀態變化」的正則化
→ 本質就是在學習馬可夫鏈的行為
AI Receiver（尤其是 RNN / LSTM / Transformer）
✔ 天生會抓到時間相關性
✔ 超適合做記憶性通道偵測
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🔍 七、兩種常見記憶性通道模型
1️⃣ Gilbert–Elliott（binary states）
最常用、適用於：
• 低階 fading
• 障礙物遮擋
• 錯誤 burst（連續錯誤）
2️⃣ FSMC（Finite State Markov Channel）
Rayleigh 分成多段，建立多階狀態：
| S1：很強 | S2：中等 | S3：弱 | S4：深衰落 |
→ 狀態越多越貼近真實
→ 6G/LEO/毫米波常用
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📘 八、ASCII 圖示：馬可夫通道直覺
FSMC（有限馬可夫通道）
p12 p23 p34
S1 ---> S2 ---> S3 ---> S4
^ ^ ^ ^
| | | |
p21 p32 p43 |
<--------<--------<--------+
以上的 ASCII 圖示展示了「有限狀態馬可夫通道」（Finite-State Markov Channel, FSMC）的基本結構。通道可能處於多個品質不同的狀態，例如 S1、S2、S3、S4，通常代表從最佳到最差的通道條件，如不同 SNR 區間、不同衰落深度或不同遮蔽程度。通道在這些狀態之間以固定機率轉換：例如從 S1 到 S2 的機率為 p12，而從 S2 回到 S1 的機率則是 p21。其他相鄰狀態也有對應的互相轉移機率（p23、p32、p34、p43）。
這種模型比兩狀態的 Gilbert–Elliott 模型更細緻，能捕捉更多層次的通道變化，例如在多徑環境中由輕微衰落逐漸進入深衰落，或在 LEO 衛星、車載通訊等高動態場景中隨時間逐步惡化或改善的通道品質。FSMC 的核心概念是：
通道在每個時間的狀態只依賴前一個狀態（符合一階馬可夫性），但狀態數可以是多個，用於更逼真地描繪實際通道行為。
FSMC 是 5G/6G、V2X、LEO 通訊與 AI Receiver 訓練資料生成中常用的模型，因為它能自然地描述通道的時間相關性與逐層惡化／改善的現象。
狀態像是「等級不同的通道品質」。
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📝 九、模擬題（Simulation Tasks）
1️⃣ 建立 Gilbert–Elliott 通道
• 隨機產生 G/B
• 套用 Pg, Pb
• 比較 burst error 長度
2️⃣ 架 FSMC（Rayleigh 4-state）
• Rayleigh 分四段
• 建立轉移矩陣
• 用 HMM 估測最可能狀態序列
3️⃣ 設計記憶性通道接收機
• 用 Viterbi / BCJR
• 比較與 ML detector 的 BER 差異
4️⃣ AI Receiver for Memory Channel
• 用 LSTM 建模型
• 加入通道狀態序列
• 學習 long-term dependency
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⭐ 十、小結（必考重點）
✔ AWGN → 無記憶
✔ WSS → 時間平均穩定，但仍然可有記憶
✔ Gilbert–Elliott → 最典型記憶性通道
✔ FSMC → Rayleigh 的 6G 超常用模型
✔ AI Receiver = 自然學到馬可夫鏈的時間相關性
📌 一句話總結：
沒有馬可夫鏈，就沒有真正的通訊通道模型。記憶性通道才是 5G/6G/LEO 會遇到的真實世界。
