線性光學只能分辨 2 種 Bell 態

非常經典的 量子光學與量子通訊工程上的核心瓶頸之一。很多人第一次聽到都會驚訝：

❗「理論上有 4 種 Bell 態，但只用線性光學最多只能可靠分辨 2 種」

以下使用 直覺 → 數學結構 → 光學實驗實況 → 為什麼必然失敗 → 怎麼突破 五步驟講清楚。

🎯 一句話先講結論

👉 線性光學只能做「干涉 + 計數」

但：

👉 其中兩組 Bell 態在任何線性干涉下都完全不可區分

所以：

最大成功率 = 50%（只能辨認 2/4 種）

一、先回顧四種 Bell 態（光子版）

二、線性光學實驗能做什麼？

所謂「線性光學元件」只有：

你能用的：

• Beam splitter（分束器）
• 相位器
• 偏振片
• 反射鏡
• 光子計數器

你不能用的：

• 光子與光子交互作用 ❌
• 非線性耦合 ❌
• 兩光子門（CNOT）❌

👉 關鍵：

線性光學 = 光子彼此不互相作用

只能「路徑干涉」。

三、關鍵物理：Hong–Ou–Mandel (HOM) 干涉

這是核心。

兩光子同時進 beam splitter：

情況 A：對稱態（boson bunching）

→ 兩光子會「黏在一起」同一出口

情況 B：反對稱態

→ 兩光子分開

神奇結果：

只有

∣Ψ⁻⟩

是 反對稱態（antisymmetric）

其他三個都是對稱態。

四、致命結果來了

進 beam splitter 後：

👉 三個完全一樣！！

探測器看到：

兩光子在同一出口

你根本不知道是哪一個。

五、數學本質（為什麼必然失敗）

線性光學只能做：

👉 這是群論/對稱性保護的結果

不是工程問題，是數學限制。

六、因此得到 no-go theorem（重要定理）

Calsamiglia & Lütkenhaus (2001) 證明：

只用線性光學 + 光子計數器

Bell state discrimination success ≤ 50%

也就是：

最多辨認2/4種最多辨認 2/4 種最多辨認2/4種

理論極限。

七、實驗上實際怎麼做？

典型 BSM 裝置：

兩光子 → Beam Splitter → 4 detectors

結果：

• coincidence → Ψ⁻
• 某些特殊 pattern → Ψ⁺
• Φ± 無法區分

所以：

成功率 ≈ 50%

這也是：

👉 量子傳態成功率通常只有 1/2

八、那要怎麼突破？

必須引入「非線性」或額外自由度。

方法1：非線性光學（Kerr effect）

讓光子互相作用

→ 可做真正 CNOT → 可 100%

但：

❌ 很難實現

方法2：輔助光子（ancilla photons）

KLM scheme

用額外光子 + 測量誘導非線性

成功率 ↑

但：

❌ 電路超複雜

方法3：超導量子位 / 離子阱

不是光子

可直接做雙量子位門

→ 100% Bell 測量

方法4：超糾纏（hyperentanglement）

同時在：

• 偏振
• 路徑
• 時間

多自由度編碼

→ 可完全區分

（目前實驗室常用技巧）

🎯 最直覺總結圖

記住這句就夠：

「線性光學只能看干涉，干涉只能分對稱/反對稱」

而：

• Ψ⁻ = 反對稱 → 可辨認
• 其他 = 對稱 → 混在一起

👉 所以最多分 2 種

🔥 一句話最終版

因為線性光學沒有光子交互作用，只能讀出「對稱性」，而四種 Bell 態只有兩種對稱類別，所以辨識上限是 50%。