🧭 導讀：ODE 解的是「點」，PDE 解的是「場」
如果你的系統只和時間有關：
dy/dt
👉 常微分方程（ODE）就夠
但如果系統同時與：
▪ 空間位置
▪ 時間
有關：
👉 一定是 偏微分方程（PDE）
🧩 一、判斷關鍵（Unicode）
當未知量長這樣：
u(x, y, z, t)
就已經是：
👉 PDE 問題
🔬 二、典型 PDE 系統
▪ 熱傳導
▪ 波動
▪ 擴散
▪ 電磁場
⚙️ 三、工程直覺
▪ 有「場」就有 PDE
▪ 有「傳播」就有 PDE
▪ 有「擴散」就有 PDE
🛰️ 四、工程實例
天線：
▪ 電磁波在空間傳播
晶片散熱：
▪ 溫度場 T(x, y, z, t)
流體：
▪ 速度場 v(x, y, z, t)
▪ 壓力場 p(x, y, z, t)
🧾 五、工程版一句話總結
只要系統變成「場」，就逃不掉 PDE。
🧠 六、本單元你應該建立的直覺
✔ 點 → ODE
✔ 場 → PDE
✔ 空間＋時間 → PDE
📎 附錄：Maxwell 方程為何必然是 PDE？（工程導向推導）
這裡不走嚴格物理公理，而走：
👉 物理直覺 → 微積分形式
一、電荷會產生電場（高斯定律）
物理語言：
電荷存在的地方，會產生電場。
工程轉成數學：
∇ · E = ρ / ε
意義：
▪ 電場的「發散程度」
▪ 來自電荷密度 ρ
👉 第一條 PDE
二、磁場沒有源頭（無磁單極）
物理語言：
沒有單獨存在的磁極。
數學表示：
∇ · B = 0
👉 第二條 PDE
三、磁場改變會產生電場（法拉第定律）
物理語言：
磁場隨時間改變 → 產生環狀電場。
數學表示：
∇ × E = − ∂B/∂t
👉 第三條 PDE
四、電流與變動電場會產生磁場（安培–馬克士威定律）
物理語言：
▪ 電流會產生磁場
▪ 變動的電場也會產生磁場
數學表示：
∇ × B = μJ + με ∂E/∂t
👉 第四條 PDE
✅ Maxwell 方程組（微分形式）
∇ · E = ρ / ε
∇ · B = 0
∇ × E = − ∂B/∂t
∇ × B = μJ + με ∂E/∂t
這是一個：
👉 四條偏微分方程組成的 P
