— 初學者可以先記住這個直覺：電磁波不是「有電場＋有磁場」就會出現，而是要「兩者都在變」──變動的磁場會逼出環狀電場，變動的電場也會逼出環狀磁場，於是 E 與 H 互相推著往前跑；同時，能量會用 S = E × H 的方向一路被搬運出去。這一單元就是把這個「波為何會誕生」用最少的公式講清楚。（VOCUS：IV. 時變電磁場與 Maxwell 方程｜第 32 單元）
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🎯 單元學習目標
完成本單元後，你將能夠：① 用一句話說清楚：電磁波為何「必然」存在，以及它誕生需要什麼條件
② 分清楚「近場儲能」與「遠場輻射」：什麼時候是能量來回交換、什麼時候是能量真的送出去
③ 用 Maxwell 的兩條旋度方程抓住關鍵：∇×E 與 ∇×H 如何互推形成波
④ 直覺理解：為什麼位移電流 ∂D/∂t 是「波的必要條件」
⑤ 會用工程判準判斷：你的結構會不會「開始像天線」並產生輻射/EMI
⑥ 把誕生條件落地到三個現場：高速數位、天線、波導/光波導與衛星鏈路
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🧭 一、先用一句話定義「電磁波誕生」
電磁波誕生的條件只有一句話：
✅ 時變的電場必須能產生時變的磁場，時變的磁場也必須能產生時變的電場，兩者才能互相推動形成自我維持的傳播。
工程翻譯：
不是「某處有 E、有 H」，而是 「E、H 的變化」在空間能閉環，並把能量往外送。
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🧩 二、關鍵引擎：兩條旋度方程把波「點火」
電磁波的點火鍵在這兩條（最重要、最直覺）：
(1) 法拉第定律（渦旋電場的來源）
∇×E = −∂B/∂t
(2) 安培–Maxwell 定律（渦旋磁場的來源）
∇×H = J + ∂D/∂t
✅ 若在「自由空間 / 無自由電荷電流」區域（遠離導體、J≈0），就變成：
∇×H = ∂D/∂t = ε∂E/∂t
你會看到一件事：
E 的時間變化 → 逼出 H 的旋度；H 的時間變化 → 逼出 E 的旋度。
這就是「互推」。互推成立，波就能活下去。 ═══════════════════════════════════════
⚡ 三、為什麼位移電流是「波的必要條件」？（超核心）
如果安培定律只有 ∇×H = J，沒有 ∂D/∂t：
- 在自由空間 J=0 → ∇×H=0
- 代表 變 E 不能生變 H
- 那麼「變 B 生 E」的鏈條就斷了
✅ 結果：E、H 無法形成閉環互推 → 無法得到自我維持的傳播解（沒有波）。
工程一句話：
位移電流不是補丁，是讓波在真空也能存在的“點火系統”。
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🌊 四、誕生條件的第二層：能量要能「搬運」出去（不是只在旁邊抖）
就算有時變場，也可能只是「近場儲能」：能量在 E 與 H 之間來回交換，但不遠走。
真正的波（輻射/傳播）
還要滿足： ✅ 能量流 S = E×H 的時間平均 ⟨S⟩ 有穩定的淨外流
直覺分界：
- 近場（Reactive field）：像電容/電感旁邊，能量進進出出，平均外送很小
- 遠場（Radiating field）：能量穩定往外跑，⟨S⟩ 指向外、一路帶走功率
圖 1｜近場 vs 遠場的能量行為（概念）
近場： ↔（能量來回） 遠場： →→→（能量外送） ═══════════════════════════════════════
📏 五、工程判準：什麼時候你的結構會「開始像天線」？
電磁波在工程現場常以「輻射/EMI」的形式突然出現。常見爆點判準：
判準 1｜尺寸與波長比
當結構的關鍵尺寸 L 不再遠小於波長 λ（例如 L ≳ λ/10），就很容易輻射。
判準 2｜邊緣快（tr 短）→ 高頻成分多
f_knee ≈ 0.5/tr tr 越短，等效頻譜上限越高 → 對應 λ 越短 → 更容易滿足 L ≳ λ/10。
判準 3｜迴路面積變大 / 回流被迫繞遠
迴路越大越像天線；回流越不貼近，場越外擴，⟨S⟩ 越容易外洩。
✅ 工程一句話：
波不是突然“出現”，而是你在某個尺度上不小心把系統做成了能輻射的結構。
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🛠️ 六、三個初學者必懂的「誕生現場」案例
(A) 高速數位線：為什麼會變 EMI？
- 快邊緣 → ∂E/∂t 大、位移電流大
- 回流繞路 → 能量流外擴
→ ⟨S⟩ 穿出板邊/縫隙 → 輻射成 EMI ✅ 你看到的 EMI，是「電磁波誕生」的工程版本。
(B) 天線：怎麼把近場變成遠場？
天線其實在做兩件事：
- 建立時變 E/H
- 讓 ⟨S⟩ 轉成穩定向外的功率流（輻射）
方向圖就是不同方向的 ⟨S⟩ 大小分佈。
(C) 波導/光波導：怎麼讓波“不亂跑”？
- 波導用邊界條件把場鎖成模態
- 讓 ⟨S⟩ 沿導引方向走
- 若粗糙/彎折/不連續 → ⟨S⟩ 漏到輻射模態 → 外洩
✅ 波導工程本質：控制波誕生後要走哪裡、不要走哪裡。
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✅ 七、本單元小結
電磁波的誕生有兩個層次：第一層是「互推自洽」——法拉第定律讓變 B 逼出渦旋 E，安培–Maxwell 定律（含位移電流）讓變 E 逼出渦旋 H，兩者形成閉環才可能有波；第二層是「能量外送」——時間平均的坡印亭向量 ⟨S⟩ 必須有淨外流，才是遠場傳播而非近場儲能。工程上當 tr 變短、尺寸接近波長、或回流繞路導致場外擴時，你等於在不知不覺中滿足了輻射條件，電磁波就會以 EMI 的形式“誕生”。 ═══════════════════════════════════════
🧪 單元數學練習題
練習 1｜判斷「互推」是否成立（必做）
在某區域內無自由電流 J=0。請用一句話說明：安培–Maxwell 定律為何仍能讓 ∇×H ≠ 0？
✅ 解析： 因為即使 J=0，若電場隨時間變化則 ∂D/∂t=ε∂E/∂t 不為零，所以 ∇×H = ∂D/∂t 仍可產生渦旋磁場，讓 E 與 H 得以互相推動。
練習 2｜位移電流必要性（必做）
用一句話說明：若 ∇×H 只有 J 而沒有 ∂D/∂t，為什麼自由空間中無法形成自我維持的電磁波？
✅ 解析： 自由空間 J=0 會導致 ∇×H=0，使變電場無法產生變磁場，E/H 無法互推形成閉環，因此不可能有自我維持的傳播解。
練習 3｜tr → f_knee（觀念＋估算）
若上升時間 tr=500 ps，估算 f_knee，並用一句話說明為何 EMI 風險上升。 ✅ 解析： f_knee ≈ 0.5/tr = 0.5/500 ps = 1 GHz。邊緣越快代表訊號包含更高頻成分、對應波長更短，結構更容易達到 L ≳ λ/10 的輻射條件，因此 EMI 風險上升。
練習 4｜近場 vs 遠場（必做）
用一句話分辨：近場儲能與遠場輻射在「能量流」上最大的差別是什麼？
✅ 解析： 近場主要是能量在 E/H 間來回交換、時間平均 ⟨S⟩ 的淨外流很小；遠場則是 ⟨S⟩ 具有穩定向外的淨功率流，能量被真正送往遠方。
練習 5｜工程判斷：你是不是在做天線？（應用）
一段導線迴路周長約 12 cm，工作頻率 2.4 GHz（自由空間）。判斷此迴路是否可能有效輻射，並用一句話說明。
✅ 解析： 2.4 GHz 在自由空間波長 λ≈c/f≈12.5 cm，迴路周長與 λ 同量級，已不滿足「遠小於波長」的集總條件，容易形成有效輻射，因此很可能像天線一樣放射能量。
