更新於 2024/04/19發佈於 2022/08/16閱讀時間約 7 分鐘

信號與控制:傅立葉轉換、拉普拉斯轉換、Z轉換

■訊號數理基本概念

●信號種類

單位脈衝 δ[n]=u[n]-u[n-1]

單位步階 u[n]

脈衝信號 h[n]

序列信號 x[n]

●週期信號

●歐拉關係式

●信號是以下列的時域F(t)或頻域(如F(f)、F(s)、F(z)等)函數式表示或解析:

1.傅立葉級數: 描述信號在t時域的函數(用三角函數型式或指數型式)

2.F轉換(傅立葉轉換):信號用f頻域的magnitude 及 phase 來描述

3.逆F轉換: 將f頻域的信號轉換成t時域函數

4.L轉換(拉普拉斯轉換):

當f(t)信號在無窮遠仍無法進行F轉換時

衰減因子就是對無法進行F轉換的信號,如果把它乘上衰減因子(想成把曲線折彎)

便可再做F轉換(即是L轉換)。實橫軸及虛數軸構成平面上的零點與極點表示,

若再用Bod圖、Nyquist圖技巧更可判斷信號的穩定性

5.逆L轉換(反拉普拉斯轉換): 將複數頻域s的信號轉換成t時域函數

6.Z轉換: 設z=re^jw,則信號可用複數頻域z(實橫軸及虛數軸)單位圓上的零點與

極點表示,以判斷信號的穩定性

7.逆Z轉換(反Z轉換): 將複數頻域Z的信號轉換成t時域函數

8.在連續時間情況下, 當s = jw (實數為零)時, 拉氏轉換即為傅立葉轉換

9.在離散時間情況下, 當z = e^ jw (即|z|=1), z-轉換即為傅立葉轉換

https://neuron.eng.wayne.edu/auth/ece4330/lectures/lecture_24_ece4330t.pdf

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■連續時間信號傅立葉變換Fourier Transform (FT) 及

逆傅立葉變換 Inverse Fourier Transform (IFT)

●傅立葉級數(FS)

周期信號週期T頻率f的信號,如果用傅立葉級數表示時,會是無窮多的SIN ,COS倍

數基頻加總。亦即週期信號f(t)可用A0,Ak,Bk的傅立葉級數表示,或改用Ck指數形

式表示(magnitude,phase)。

●FT定義：函數 x(t) 的 Fourier Transform (FT) 定義為

●逆FT定義 : X(ω) 的 Inverse Fourier Transform (IFT) 定義為

傅立葉轉換 (FT) 可將時間函數 x(t) 轉換成頻率函數 X(ω)。

逆傅立葉轉換 (IFT) 可將 X(ω) 還原為 x(t)

【例】正弦波訊號 y(t)=sin(60t)

1.試問正弦波頻率為何?

2.若訊號經傅立葉轉換後得出Y(f), 則f為多少時, Y(f)≠0 ?

【Sol】1. sin(60t)=sin(2πf0t) è f0=60/2π=30/π

2. sin(60t) 經傅立葉轉換 è1/2j [δ(f-30/π)-δ(f+30/π)

f=+30/π時, Y(f)≠0

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■L轉換(拉普拉斯轉換)與逆L轉換

●定義

http://www.ilectureonline.com/lectures/subject/ENGINEERING/28/259

●卷積轉換為乘積

https://slideplayer.com/slide/8609578/

●常見的L轉換與逆L轉換公式

https://math.stackexchange.com/questions/4492519/do-we-actually-calculate-inverse-laplace-transforms

【視頻】The intuition behind Fourier and Laplace transforms

I was never taught in school

【視頻】拉普拉斯轉換 (終極複習)

【視頻】從神的領域看世界: (科普)傅立葉變換FFT

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■Z轉換及逆Z轉換

z轉換源自 Laplace Transform (適用於分析連續時間域的函數)，適用於離散時

間域 discrete time domain 的數位訊號分析。跟離散時間傅立葉轉換 DTFT 比

較，z轉換提供更廣義的訊號表示法，可用來分析 DSP 系統的操作特性。

●Z轉換定義

給定離散序列 x[n]，則z轉換定義為：

z轉換是將離散時間域(discrete-time domain) 的序列 x[n]，轉換成

z domain 的函數 X(z)。Z{ } 代表 z 轉換。

●反z轉換定義

可用反 z 轉換將 X(z) 還原為 x[n]。

●Z轉換與 DTFT 的公式比較

DTFT是針對絕對可加總序列(Absolute Summable Sequence) 進行轉換，僅適

合用來分析穩定的 LTI 系統，z 轉換應用範圍較廣，也可分析不穩定的 LTI 系統

●收斂區域 ROC (Region of Convergence)

就是使得 z 轉換收斂的複數平面的 z 點集合，定義為

其中 C 是包含原點的逆時針封閉路徑，落在收斂區域中。

●LTI系統方塊圖的Z轉換

y[n]=h[n]*x[n] 為 Time - Domain 的差分方程式 (式中*為卷積)

Y(Z)=H(Z)･X(Z) 為Z – Domain 的Z轉換函數式 (式中･為乘積)

●零點與極點

●數位信號與單位圓與零極點的關係

數位信號是單位圓從-π至π的信號,以外的點(如極點)為發散不要的點

單位圓右半邊的零點為低頻 , 左半邊的零點為高頻

頻率響應指頻率的放大倍數

零點O : 使 H(Z)=0 的點

極點X : 使 H(Z)→∞ 的點(不收斂,不要的點)

Z=1的零點代表直流電

●逆Z轉換

1.串聯型式

2.並聯型式

http://twins.ee.nctu.edu.tw/courses/ss_17/S14-07-z-Transform.pdf

【視頻】一頁式解說FS, FT, DTFT, DFT, FFT, LT and ZT

【視頻】An explanation of the z transform part 4 - the transfer function

【視頻】The z-transform, discrete signals, and more

https://www.youtube.com/watch?v=hewTwm5P0Gg

■拉式轉換與Z轉換之對照

【視頻】Mod1 Lec12: Laplace Transform and Z-Transform

https://www.sohu.com/a/351450223_472928

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西洋占星

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