📘 《AI 時代系列（6）：進階通訊工程——邁向2035年太空星鏈網路時代》
📘 第 15周: 🧠 🚀 星鏈 通訊工程實作
145／150單元：多普勒補償器（Time-Varying）⏱️追蹤高速衛星頻偏的核心演算法
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🎯 單元導讀
地面 5G 的 Doppler ≈ 200–800 Hz。
但在 LEO → 完全是地獄級：
• at 2 GHz → ±5～10 kHz
• at 20 GHz（Ka-band）→ ±50～100 kHz
• 每毫秒在變
• UE 與衛星角度 θ(t) 一直動
因此，多普勒是：
⭐ 時變（time-varying）
⭐ 非線性（隨角度變化）
⭐ 加在複數通道上造成相位高速旋轉
⭐ 對 OFDM 子載波正交性毀滅性破壞
如果沒有多普勒補償器：
✘ OFDM ICI 巨量增加
✘ Phase rotation 讓 Equalizer 失效
✘ Beamforming 方向飄掉
✘ MIMO 無法維持 rank
所以這一節是 LEO NTN 的必修技能。
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🧠 一、LEO 多普勒公式（工程版）
衛星速度：v ≈ 7500 m/s
carrier：f_c
入射角：θ(t)
f_D(t) = (v/c) * f_c * cos(θ(t))
多普勒頻移 f_D(t) 由相對速度 v、載波頻率 f_c 與瞬時入射角 θ(t) 的方向投影共同決定，表示在 LEO 系統中多普勒會隨時間與幾何關係快速變化。
衛星通過頭頂時：
• θ(t) = 90° → cos = 0 → Doppler = 0（反轉點）
• 前半段 → 正值
• 過頂後 → 負值
形成 大型鐘形曲線。
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🧠 二、Doppler 如何破壞 OFDM？
複數通道因頻偏引入相位旋轉：
h(t) = h₀ · e^{j2πf_D(t)t}
FFT 之後：
子載波 k → 洩漏到 k±1, k±2 ... 形成 ICI
Hence：
⭐ 多普勒補償 = 吃掉這個 e^{j2πf_D(t)t}
⭐ 讓 FFT 後的子載波回到正交
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🧠 三、Time-Varying Doppler Compensation（四大演算法）
① Single-Tone Estimator（Pilot-based CFO）
利用 pilot 子載波相位變化估側 Doppler：
Δφ = angle(Y_pilot * conj(X_pilot))
f̂_D = Δφ / (2πΔt)
適合：
✔ 中低 Doppler
✘ 不適合高速時變 LEO（太慢）
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② Sliding Window Phase-Tracking（LEO 常用）
在每個 OFDM symbol，都估一次相位變化：
f̂_D(t) = (1/(2πT_sym)) * angle( y(t) · conj(y(t−1)) )
優點：
✔ 很快
✔ 適合高速 LEO
✔ 簡單易實作
缺點：
✘ 噪聲下表現較差
✘ 子載波必須是相鄰 pilot
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③ Kalman Filter Doppler Tracker（衛星端常用）
因為 Doppler 其實是平滑函數（cos(θ(t))）
→ 可以用 Kalman 追蹤：
State:
s(t) = [f_D(t), Δf_D(t)]^T
Kalman Filter 做：
✔ 預測下一刻 Doppler
✔ 校正
✔ 平滑
這是 Starlink 類系統常用方法。
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④ AI Doppler Prediction（最佳）
用 RNN / LSTM / Transformer 預測下一時刻 Doppler：
Input：
• 過去 N 個 pilot 相位
• UE GPS
• 衛星軌道 ephemeris
• Beam ID
• H_est(t)
Output：
f̂_D(t+Δ)
AI 有三大優勢：
⭐ 抗噪聲
⭐ 可預測 Time-varying Doppler
⭐ 不需要大量 pilot
這在 LEO 非常吃香。
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🧠 四、Python 實作：Time-Varying Doppler Tracker
模擬 θ(t) 從 −90° → +90°：
import numpy as np
fs = 1000
T = 1
N = int(fs*T)
fc = 20e9
v = 7500
c = 3e8
theta = np.linspace(-np.pi/2, np.pi/2, N)
fD = (v/c) * fc * np.cos(theta)
t = np.arange(N)/fs
phase = np.exp(1j * 2*np.pi*fD * t)
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📦 Step 1 — Pilot-based Phase Tracking
fD_est = np.zeros(N)
for i in range(1, N):
dp = np.angle(phase[i] * np.conj(phase[i-1]))
fD_est[i] = dp / (2*np.pi*(1/fs))
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📦 Step 2 — Doppler 補償
comp = np.exp(-1j * 2*np.pi * fD_est * t)
corrected = phase * comp
corrected 的相位會變成 接近固定。
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🧠 五、ASCII：Doppler 與補償效果
原始相位：
/~~~~~~~~~~~~\_________/~~~~~~~~~~~~\
這條「起伏不規則的相位曲線」代表 未補償的 Doppler 影響，相位隨時間快速且非線性旋轉，造成接收端無法穩定對齊通道，進而引發 OFDM 子載波正交性破壞與 ICI；工程上的補償目的，就是把這種劇烈起伏的相位行為拉平，讓相位趨於平滑可追蹤。
補償後：
-------------------------------（平滑）
補償後相位被對齊並去除 Doppler 與 CFO 影響，曲線趨於平滑近似常數，使接收端能穩定估計通道、維持 OFDM 正交性並可靠地進行等化與解調。
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🧠 六、工程應用（NTN 特有）
✔ 1) LEO Beamforming
不同天線 Doppler 不同 → 必須補償每條支路
✔ 2) OFDM 子載波 ICI 抑制
補償後 ICI 大幅下降
✔ 3) MIMO Precoding
沒有 Doppler correction → precoder 失效
✔ 4) Starlink 航空通訊
飛機 + 衛星 = 雙 Doppler 疊加 → 需要 Kalman + AI
✔ 5) ISL（星間鏈路）
星間速度更快 → Doppler 甚至更大
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🧪 七、模擬題
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1️⃣ 專業題
LEO Doppler 最大特性？
A. 穩定
B. 緩慢
C. 時變且高速
D. 僅受雜訊影響
📡 答案：C
解析：
LEO 衛星相對地面移動速度極快，且入射角隨時間劇烈變化，使多普勒頻移呈現高速、強烈時變的特性，這是 LEO 通道最本質的差異。
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2️⃣ 應用題
補償 e^{j2πf_D(t)t} 的目的？
A. 增加功率
B. 去除子載波間干擾（ICI）
C. 增加指向性
D. 減少 pilot 數量
📦 答案：B
補償
e^(j·2π·f_D(t)·t)
的目的在於移除多普勒所造成的時間相位旋轉，恢復 OFDM 子載波之間的正交性，從而有效抑制子載波間干擾（ICI），而非用來提升發射功率或增加波束指向性。
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3️⃣ 情境題
若 Doppler 在頭頂時瞬間變回 0，意味著？
A. 相位旋轉最大
B. 相位旋轉最小
C. 需要切換天線
D. MIMO rank 消失
📡 答案：B
解析：
當衛星通過正上方時，相對速度在視線方向的投影為零，多普勒頻移瞬間趨近 0，因此相位旋轉速度最小，而非最大。
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🧪 八、實務演練題
1️⃣ 模擬不同 carrier（2 GHz / 20 GHz）Doppler 差異
2️⃣ 用 Sliding-Window Doppler Tracker 追蹤 ±80 kHz
3️⃣ 實作 Kalman Doppler Tracker
4️⃣ 訓練 AI Doppler Predictor（LSTM）
5️⃣ 在 OFDM 中加入 Doppler 補償並驗證 BER
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✅ 九、小結
多普勒補償器是整個 LEO NTN 的大腦：
🌌 Doppler 是所有問題的根源
⏱ 多普勒補償器讓 OFDM / MIMO / Beamforming 能正常運作
🧠 AI Doppler Prediction 是未來趨勢（提前 5~10 ms 預測）
