市場波動預測和時間序列分析

★★★★☆ (8000字, 20分)

有鑑於我的文章難易度有別，我嘗試加入評級。
我知道讀者知識分布範圍非常廣，有人認為我的內容都「太簡單」，但也有人幾乎「看不懂」，所以評級僅供參考。

最簡單的一星，應該是名詞介紹，例如股市名詞、債券名詞...通常我會加上新手的tag.
最硬核的五星，可能是公式推導和對模型的挑戰。從讀者反應來看，暫定為方差均值最優化、Black Litterman和Black Scholes.
另外評級僅為嘗試，不一定會持續放置。
好了，來吧。

「價格」和「時間」的關係，是個歷久不衰的課題。在這條路上，人類創造了「時間序列分析」，並嘗試運用在市場上。而為了方便解釋，我先從四個主題切入，各位可以自行選擇想讀的段落。當然，也歡迎你全部看完。

1. 技術分析

我一直宣稱技術分析高度無效，我也撰文批評過「信眾」。不過，我認為這個傳統流派，有些值得投資人學習的精神。

資訊處理領域，為了方便分析，人們會希望「降維」，也就是將某些特徵抽離或固定，減少總體資訊量。作為對照，很多技術分析的分支，都有抽出特徵的「影子」。例如KD的誕生，本身就是對電腦算力的妥協，經過多次降維。相似的，MACD的dif線，是提取快慢二線的差值特徵。K線更明顯，一根蠟燭表示了高低進出四個數值。因此，將複雜的資訊簡化，方便投資者分析，這個理念我十分認同。

另一方面，人們對於走勢規律的觀察，除了造就形態學的大行其道外，也提供各種「波浪理論」的成長空間。廣義而言，康波也算是對於市場走勢的判斷，屬於巨型波浪。艾略特大家都聽過，暫且不管第幾浪的判斷，它「浪中有浪」的隱含假設，就是在刻劃股市的價格特徵。另外像是八大法則，對稱的進出場依據，背後原理也是波浪走勢。投資人觀察到的市場波動，會隨著時間「尺度」而變化，因此，人類對於價格走勢和時間的研究是正確的方向。

有些人喜歡使用泛均線系統，例如MA、乖離或布林通道。探究發明者的精神，我們可以思考價格波動和「平均」的關聯。在股票市場，因為波動的分布和特徵，導致均線天生無法成為優秀的系統，而這也是我多次批評的依據。不過，脫離「傳統」技術分析的範疇，人們依然喜愛均線，並試圖建立更好的模型，以便貼近價格走勢。我喜歡這種精神，而事實上，移動平均就是我的切入點。

讀者可能好奇，既然有些技術分析的概念正確，為什麼我還要反對? 最簡單的原因，方向正確也不代表它是好方法。同樣要從南到北，有人乘坐高鐵，有人堅持中央山脈大縱走，兩個人的成本和勝率會一樣嗎? 常見技術分析的體系，推論過於鬆散，而且新手用戶傾向於全盤照抄，所以我才會宣稱這個派別「點錯科技樹」。不過，我還有好消息，如果各位認同技術分析的理念，也意識到某些環節的荒謬，那麼不妨進一步了解價格的時序分析領域。

2. 因子投資

我無意製造對立，不過為了方便說明，我主觀將因子陣營簡單分成兩大體系。

坊間最常見的體系是「傳統α解釋派」，就是大家容易理解的入門類文章內容。它們把因子視為β之外的收益來源，同時部分化用了殘差和異象。由於其中一個步驟是依照特徵將股票排序，所以有時候會被誤認為「選股」，不過我認為更貼切的說法應該是選因子。反映在資產配置理念上，這個派別通常會先將股債等資產分開，然後再調整股票部分對因子的曝露。

走這條路的各位，不妨反思「動量」因子，它是常見因子中明顯和「時間」有關的一支。雖然因子投資和被動投資非常靠近，但是動量因子天生叛逆，總是逼著投資人思考擇時問題。例如動量因子的建構和動量因子的動量，或是「動量崩潰」，明顯不是股市風格因子能解釋的現象。偏偏這個狂妄的因子，卻無法透過其它手段消除，而且還長期有效，讓學者非常尷尬。

另外一個體系是「量化因子分析派」，也就是我數次推薦的門派。雖然知識門檻較高，但因子在這個體系內可以完整發揮，同時結合既有武器，最大化幫助投資者。和解釋派不同，量化分析派將因子的理念應用到組合建構和優化模型上，不再只是投資者主觀的曝露。另外由於大量使用統計和數據處理的方法，因子分析框架可以同時容納「多項」投資策略。例如情緒擇時和動態波動風險控制、套利不對稱與Idiosyncratic volatility(特異波動性)，或是PCA(主成分分析)和機器學習，以及資產供需的定價歸因和散戶對基金的偏好。

我完全不擔心這個門派對於時序分析的接受度，因為「迴歸分析」本來就是基本功。例如暢銷書《雙動量投資》，就是描述因子的時序迴歸和截面迴歸，成效斐然。而針對投資組合的研究方法，在量化因子分析的框架下，投資者除了使用時序和截面，也會用Fama MacBeth迴歸，同時檢驗收益因子和因子模型的有效性。因此，如果讀者稍微認識這個領域，大概已經對時序分析有基本理解了。

3. 被動指數投資

我再次強調，「指數投資」是我最鼓勵的投資方式，而且我身體力行。基於這個原因，我實際上對指數教派「信徒」一直保持友好。

我刻意避免攻擊指數教，不是因為我喜歡信仰，而是因為我覺得指數精神非常「優秀」。身為「邪教」狂派掌門人，我不樂見特定讀者為了自我質疑，結果陷入迷惘，最後選擇加入垃圾組織。我的一位長輩正值古稀之年，非常喜歡「玩」股票，她總是打電話問營業員哪支股票會漲，而且常常買不到幾張，結果經年累月分散買了許多公司。當她告訴我「雞蛋不要放在同一個籃子裡」時，我知道這比什麼指數投資理論都還安全。

不過，針對坊間被動指數投資的說法，有非常多值得我們深思的細節。

有一派作者(包括我)，在寫普及類文章時，喜歡用「贏過一半」和「平均績效」來彰顯指數投資的好處。這種寫法避免了「市場有效性」和「隨機漫步理論」的爭議。因為無論市場如何變化，指數和平均的關係總是成立。乍看之下，被動投資指數、不選股擇時，可以不用考慮回報預期、資產特性、經濟變化和群眾心理，反正躺著也能贏一半。

那請問各位，為什麼我們「預期」指數上漲? 這剛好說明，投資者一定有預期，而且是正面預期。另外，有人搬出經濟成長來解釋指數，那我好奇，為什麼指數成長的速度，和GDP增速不同? 為什麼指數受到經濟影響，指數投資者卻不必理會經濟? 為什麼同樣和經濟高度相關的債券表現，通常沒有股票好?

請注意我的說法。無論市場有沒有效、價格波動是否隨機，指數投資都能得到市場平均報酬。但是，這個平均報酬是獲利還是虧損，以及投資人隨時參與大盤的意義，僅靠指數自身並無法解釋。這些問題的答案，超出「跟隨大盤」的解釋範疇，因此作者需要抉擇。

有一些人暫時不解釋，繼續說故事，推廣指數投資；也有一些人乾脆引入「現代金融理論」，利用嚴謹的學術研究成果，屠殺新手村。不過，還有一些「異教徒」，特別喜歡挑戰既有權威、摧毀信仰，不管對面是手無寸鐵的村民，還是正在屠村的象牙塔軍隊。這種混亂中立的求知是我嚮往的過程，而Taleb和Mandelbrot也是同類人。當22個標準差之外的事件出現時，我們可以反思金融領域常用的常態分布和隨機漫步立論，是否依然適用。如果人們想要認真探討市場波動，那時序分析也該進場了。

4. 選擇權交易

嚴格來說選擇權是工具，不是一種方式。不過我特別提到的原因，是選擇權比其它交易工具還注重風險和波動率，而交易兩者也成為選擇權市場的獨特行為。

運用有避險用途的衍生金融商品，選擇權交易者面對風險的態度非常謹慎。大家可以根據自身要求，指定想要承受的風險和忽略的部分。例如中性交易，就是將特定風險抵銷，只保留必要部位。可想而知，既然市場參與者注重風險的細節，那選擇權定價理論就需要有精準描述的能力。正是因為全世界都知道選擇權怎麼定價，所以只要模型有些微缺陷，就會影響交易平衡，而這是股票或債券市場無法想像的殘酷現實。

如果我們將波動視為風險，那選擇權出眾的部分，就是討論尾部分險和對應的價值(例如VaR)。Gaussian(常態)分布、Cauchy分布和其它Levy skew α穩定分布都很像，但是用來形容資產波動，其中的誤差會被急遽放大。無論是Mandelbrot從股價波動出發，探討到波動率規律，還是Taleb對於經典Black Scholes模型和Mertron的批評，都在提醒交易者需要保持質疑。

既然我們要仔細刻劃風險和波動，又需要依照真實市場改進既有模型，那麼時序分析順理成章的走上舞台。Bachelier定價模型，直接採用波動常數，而到了Black Scholes時代，波動率變成和「時間」相關的函數。Merton引入跳躍擴散，將擴散和跳躍都視為常態分布的波動行為，而後來的Heston模型，則利用「隨機波動率」貼近隱含波動率和行使價格的曲線。

除了波動，選擇權也和時間有關。因此，誰能更了解市場在特定時段的波動性質，誰的模型越真實，就越有機會獲利。巴菲特曾經利用選擇權的長期錯誤定價，做出對他非常有利的交易；LTCM公司雖然有諾貝爾經濟學獎的得主撐腰，但是因為遇到極端情況時處理不善，導致最終倒閉。我相信沒有交易者會想要輸給自己的「失誤」，所以對於波動率的時序分析，也可以為各位參考。

一般散戶投資者並不需要交易選擇權，但是時序分析的概念可以沿用。畢竟在市場上，多一分了解就多一分勝算。

5. 好，來談談時序分析本身。

由於時間序列分析的範圍非常廣泛，身為市場新手的我也不可能全部說完，因此我只會定性帶過一些概念和模型，包括市場波動特性、白噪音、ACF/PACF、AR、MA、ARMA、ARIMA、ARCH和GARCH家族。如果讀者想要進一步了解，可以自行參考相關書籍。

6. 市場波動特性

在利用時間序列分析之前，我們可以先討論市場的個性。

短期而言，價格漲跌就是隨機出現，就像GBM(幾何布朗運動)所描繪的；長期來說，價格似乎又有一種趨勢，而非真正無序波動。這個現象很弔詭，因為既然每個tick之間沒有關聯，為何累積起來的走勢卻有明顯方向?

另一方面，波動率本身還有「聚集」現象。一個波動後面往往也會跟著幅度差不多的波動，顯然不是「隨機」模型能解釋的。但是，這種聚集也沒有太長的持續性，因為時間拉長之後，波動率又會回歸到一個「平穩」區間。

有趣的是，波動率本身雖然和漲跌方向無關，可是資產價格下跌時的波動率往往更大，有人稱之「槓桿」效應。相對的，波動率從資產變化而來，但是偶而有跳躍現象的資產價格擴散，卻對應著連續平緩變化的波動率。

為了解釋這些實際現象，人們利用不同理論來描繪，而這就是時間序列分析的發展史。

7. 白噪音

隨機，就是不可預測。如果未來和過去毫無關係，那麼這種變化就沒有「記憶性」。反之，如果資產價格有記憶性，就不是完全隨機，而且投資者有機會預測。

既然價格波動同時帶有隨機和可預測性，那麼將兩者分開才能繼續研究。我們的目標是將隨機部分消滅，只保留有規律的部分，但是倒過來說，隨機性檢測也可以成為判斷模型品質的依據，因為一個好的模型應該要有明確篩選能力。

白噪音是完全隨機的資訊，任何時段的波動都和過去無關。換句話說，如果市場波動符合白噪音，那麼同時也代表隨機漫步成立；相對的，如果透過白噪音檢測之後，發現有統計上不為零的數值，就象徵著波動具有部分規律。順帶一提，為了貼近股市波動，有些學者利用常態分布來描繪白噪音，這個精神和GBM很像。

事實上，股市波動無法符合白噪音檢測，所以大家開始建立模型，嘗試抓出波動的模式。

8. Lag, ACF & PACF

人們在處理統計資料時，會將時間切割成「基本單位」，例如每月成交量或每天的氣溫。不過為了後續分析，在抽樣觀察的時候，通常會採用更長的時段。例如同樣使用每月成交量，如果在每年最後一個月都統計觀察，間隔就是12個月(K =12)；每季統計一次，間隔就是3期；當然如果每個月都統計一次，lag就是1。

自相關(Autocorrelation function, ACF)很好理解，用來描述資訊和自身的相關性，簡單來說就是找出變化的重複規律。現在，我們使用K=1, 2, 3...並統計這些lag之下的自相關性。如果一組資訊完全隨機，那麼就不存在有意義的ACF，所以不管K取多少，ACF都應該接近0。但是，如果一組資訊有某種規律，就會在特定的K之下，被抓出來。舉個例子，氣溫變化通常是夏天熱冬天冷，而這個規律間隔是12個月。也就是說，我們會發現K在12附近的時候，ACF升高到超出隨機範疇的水準。

偏自相關(Partial Autocorrelation function, PACF)和ACF很像，但是它要求更精確的K。舉個例子，如果我觀察女性人類情緒波動的周期，並發現K=28天時最明顯，而K在27和29的時候也有不弱的自相關性，這時PACF會要求只能挑一個lag來解釋，所以我會選取28，而放棄掉27和29。換句話說，如果規律只有一個周期，那利用PACF我們可以抓出「唯一解釋」的K。

9. AR (自我迴歸)

Autoregression的核心思想很直接。如果報酬率會隨著時間變化，而且又受歷史波動影響，那麼模型就可以把之前一段時間的資訊全部加起來。由於這種迴歸依據自己的歷史，所以也叫做自迴歸。

如果我假設這期的結果，只和上一期有關，和更早之前的資訊都無關，那麼這就是一階自迴歸，也就是AR(1)，如果假設當期只和前兩期有關，就叫AR(2)。同理，如果設定這一期和前p期有關，就稱為p階自迴歸，AR(p)。

對於一個AR模型，將迴歸係數依序寫成特徵方程，然後求解。如果這些特徵方程的根都小於1，我們就可以說它具有「平穩性」。注意有些學者會將特徵方程根的倒數叫做特徵根，單純的定義差異而已。用白話文來說，在AR的任何一個係數都不能太大，否則會造成迴歸不平穩。

另外，我們可以意識到，當K持續增加時，AR的部分資訊會重複被記入，只是影響力會逐漸「衰減」。因此，AR的ACF圖可能呈現簡單衰減或震盪衰減，這個情形也叫做拖尾。至於AR的PACF，會在過了p階之後突然斷掉，也叫做截尾(truncated).

順帶一提，技術分析的EMA，也就是指數移動平均。雖然考慮到成交量之後，用EMA來預估平均成本顯得不切實際，但是純價分析領域，使用「指數衰減」是常見的作法。

10. MA (移動平均)

AR是對於回報的迴歸模型，而MA則是捕捉白噪音的模型。這裡的MA，是指白噪音的移動平均，和技術分析中的價格MA概念很像。原理很簡單，在MA體系內，一個新的爆炸性波動會扯動白噪音均線走勢，因此MA具有檢查新價格波動的功能。我們常聽到的價格5MA/10MA，對應白噪音MA體系就是MA(5)和MA(10)，而q階MA也就是MA(q)。

基於平均公式的結構，MA一定具有平穩性。而且因為MA的模型把取樣之外的白噪音直接定義成0，所以顯然MA的ACF會在q階之後直接呈現斷尾，也就是K一旦超過q，所有數值都變成0。至於PACF正好相反，會逐漸衰退，也就是拖尾。

現在，我們可以思考AR和MA的特性。MA一定平穩，而AR需要特徵根小於1(或是大於1，端看定義)。MA(q)可以往後預測q步，AR(p)可以往後預測p步，而且這種延伸預測的值會趨近於平均，誤差則接近所用序列的變異數。

兩個模型的觀察重點不同，但是許多性質又相似，那我何不將兩者結合? 各位可以先猜猜看，合體模型的名字叫什麼?

11. ARMA

AR(p)結合MA(q)，可以寫成ARMA(p,q). 自迴歸結合移動平均，會變成自迴歸移動平均，而這個模型可以同時捕捉回報的相關性和新增白噪音的影響。

實際上，如果一組數據的ACF截尾，我們可以用MA；如果PACF截尾，就用AR；但是如果ACF和PACF都拖尾，我們就可以使用ARMA。使用ARMA，我們只是將兩個模型組合起來，就能利用互補性，大幅提升對於規律的捕捉能力。

只不過，有強大的解釋能力，不見得是好事。攝影的時候，我們不喜歡太高的ISO(感光度)，否則可能會讓照片出現噪點，反而讓畫質變差。模型發展到這個階段，人們可以輕易的將任何巧合都解釋成規律，結果讓模型overfit(過擬合)，但如此就違背了尋找市場特徵的初衷。

換另一種方式說明，如果我們刻意挑很大的p和q，那麼模型就可以識別出很多規律和巧合，結果會讓所有資訊混在一起。就像因子投資，大家希望多因子模型不要太「複雜」，不然就只是故意湊出答案而已。

12. AIC & BIC

あかいけ先生 (Akaike, 赤池)創立了AIC (Akaike information criterion, 赤池資訊量準則)，用於評估模型的複雜度和貼合真實數據的能力。AIC=2K−2ln(L)，K是參數的數量，而L代表概似函數，AIC越小越好。因此，人們可以找到盡量小的K和最大概似L，也就是用最少的參數做出最可能成立的假設模型。

除了AIC外，還有一個BIC (Bayesian information criterion, 貝頁斯資訊量準則)，有相似的概念。BIC=ln(n)K–2ln(L), 其中n代表樣本數。我們可以看到，BIC一樣有針對K的要求(懲罰項)，而且更嚴格。至於為什麼要引入樣本量呢? 因為如果訓練的樣本很豐富，那麼模型的精確度可能會太高，違反模型精簡的精神。

無論是AIC或是BIC，都要求模型言簡意賅，不過側重的細節稍微不同。總之，AIC和BIC越小，應對的模型越不容易過擬合。當我們找出最小AIC或BIC時，就可以確立模型的階數，例如ARMA的p和q.

13. ARIMA

ARMA還有個大哥叫ARIMA，也就是自迴歸「差分」移動平均 (Autoregressive Integrated Moving Average)，多了一個差分。

什麼是差分呢? 最簡單的例子就是將前後數據相減，得到新的數據，然後不斷重複，直到常數出現。技術分析中的MACD也有類似概念，先透過相減得出diff，然後再用diff減去其它數值，得出柱狀圖。(此處僅為簡單類比。)

運用差分之後，模型可以把本來的數據「平穩化」，而這個差分的階數就是d，因此模型可以寫成ARIMA(p, d, q). 順帶一提，如果面對的數據有季節性(seasonal)，ARIMA還可以擴展成SARIMA.

14. ARCH

人們接受各種模型和進展，看似接近了市場波動，但是還有很長的路要走。畢竟，模型再怎麼有道理，還是必須符合實際狀況。聽到這裡，讀者應該知道，我又要找「幫手」挑戰既有觀念了。

回頭檢視人們對波動率特徵的觀察，這就是模型的階段目標。在傳統的時序分析中，大家把波動直接假設為固定的變異數，也就是要求二階平穩性，但是這違反實際的市場行為。別忘了，波動率也有自己的個性。

以前將數據迴歸的時候，人們通常假設誤差的變異數固定，所以我們在高中會用到最小平方法(也就是OLS)。但是當誤差的變異數本身也會變化時，大家算出來的答案實際上是標準誤(standard error)，而這個概念在因子分析中也很常見。為了更合理的透過時序分析研究波動，學者開始使用異質變異數 (Heteroscedasticity)

另外，因為大家假設歷史波動會影響未來的表現，因此採用「條件」異質變異數(Conditional Heteroskedasticity, CH). 而順帶一提，英文中的c和k都有人用，不影響語意。2003年諾貝爾經濟學獎頒給Engle等人，就是因為ARCH模型。你猜對了，AR和CH結合，會變成ARCH，也就是自迴歸條件異質變異數模型。

狂徒，ARMA又是怎麼演變成ARCH的呢? 事實上，如果按照ARMA家族的思路，那麼在ACF和PACF都發現無法截尾的時候，就應該順理成章的使用ARMA。只是，當學者觀察殘差的平方時，發現很明顯的波動率聚集(clustering)現象，也就超出單純對報酬建模的ARMA系列。事情演變至此，有點Markowitz抓平均值和方差最優化投資組合的味道，因為ARCH就同時考慮回報平均和波動率。

15. GARCH

ARCH可以處理回報和波動率變異數，但是所需參數比較複雜，也就是比較高的階數。因此Bollerslev開發出更普遍的形式，稱為Generalized的ARCH (GARCH)，中文是廣義自迴歸條件異質變異數。其中GARCH(m,s)表示考慮m階的超額收益以及s階的條件變異數。

考慮時間，又考慮波動，各位讀者朋友是否想起了什麼? 是，選擇權的那些交易者，發現GARCH可以和定價模型一起服用。另一方面，時序分析學者也開始嘗試使用更貼近實際回報分布的模型，例如捨棄常態分布而使用Student分布來處理尖峰肥尾。當然GARCH本身也有一定的解釋力，像光是GARCH(1, 1)就能以簡單的條件設計出厚尾的模型。

這個年代的市場參與者，手中有許多高科技武器，例如Black Scholes定價、ARMA和GARCH，同時又能借助電腦的運算能力。理論上，他們應該可以清楚市場規律，但實際上，這條路上還有許多障礙。

16. GARCH的後代

模型不是越新越好，一路追蹤模型發展可以讓大家獲得新知，但不代表就能應用到現有工具上，更別提在市場上賺錢。不過，基於大家對市場的了解，還有一些現象需要處理。例如槓桿效應，造成價格上漲和下跌的波動率不同，而這超出GARCH的守備範圍，因此新模型開始嶄露頭角。

TGARCH，T代表「臨界」(threshold)，也就是對於正值和負值的區分，白話文為上漲和下跌。另外如果考慮作者名稱，它也叫GJR-GARCH.(嚴格來說兩者公式有非常些微的不同，但定義相同。) 另外，EGARCH，E代表「指數」(exponential)，這個背景概念相似於Black Scholes與 Bachelier對於正負和對數的採用。

至於其它分支發展，就如同所有常見模型一樣，總會推陳出新，像是IGARCH或AGARCH等，不過都還算是錦上添花。如果妳有興趣，我相信相關文獻不難找到。

17. 讀完整篇文章，我能做什麼?

我一直嘗試將不同研究方向的精華結合，並呈現在文中。我想，如果你沒有看到一半就放棄，那就代表認同這些模型的概念。誠然有些學家會喜歡發展純理論，但是至少在時序分析上，大家都在盡量貼切的描述事實，而不是紙上談兵。(紙上談兵的是我。)

另外，我也在宣傳「模組化」的投資知識架構。一個熟知ARMA的人，要了解ARIMA並不難，因為她不需要從頭開始學，只要修改差異的部分即可。要達到這個目的，就需要了解模型背後的「原理」，才能知道怎麼將概念拆裝和應用到既有體系。事實上，了解原理雖然花費時間，但是我們只需看懂第一次，就可以收藏無數專家努力研究留下的經典工具。

對於資產配置而言，時序分析的著力點較少，不過我分享一個有趣的方向。在配置風險時，有些人會使用Risk Parity模型，而下一步就是考慮資產和整體組合的槓桿。對於想要擇時的投資者而言，就可以借助時序分析，從波動率反推最佳槓桿比例，並動態調整資產的配置比例。

最後，如果各位聽到旁人說她能預測股市波動，不妨問問看，她到底用了什麼方法吧。

註: 非相關領域，我很有可能寫錯，所以歡迎大家踢館糾正，感謝。