編輯嚴選

現在對數學的重視程度是中國歷史低谷

我們若去市場買三顆瓜、五斤米、一條煙、八兩肉。一瓜十元、米一斤廿五、一兩肉四元、一條煙六十二，總共多少？給你若干，找我若干？市場裡的老太婆眼睛一眨，立刻就可算出數字。可你若碰上外國商販，他想來想去，一件件算，收多少、減多少，加多少，磨磨蹭蹭，會忙得滿頭大汗。任何人在現實生活中，都可以碰到這樣的經驗。

再看我們的中小學學生，數學多好呀，教材之難，遠遠超過同年級的歐美學生；國際奧數比賽，成績也是呱呱叫的。

所以我們的社會大眾認知，是對自己的數學能力特別自豪的。

然而，大學以後呢？

2019年的《中美初中數學教材難度的比較研究》顯示，和人教版教科書相比，美國的教科書在代數上的內容難度顯著高於中國，在概率統計等實踐性較強的分支差距更為明顯。在幾何上內容難度相差不多。 — — 我們的數學就是劣勢了。

大學裡的「數學及應用數學系」學生也不甚愛讀，讀出來前途比較困窘，往往列名教育部公布的十大就業率最低科系。

繼續深造嘛，許多人會選擇出國。因為數學研究機構目前全世界第一梯隊應該是美國普林斯頓高等研究所體系（包括普林斯頓、哈佛、斯坦福，Caltech等合作高校）和法國IHES-ENS體系（法國高等科學研究所 — — 巴黎高師體系）。第二梯隊是俄，英，德。中國屬於第三梯隊。所以曾任世界華人數學家大會主席的著名數學家丘成桐就直言：中國數學與世界高水平還存在較大差距。

至於國人引以為榮的古代數學成就，什麼祖沖之啦、《算經十書》啦，老實說，世界上談哲學和數學的人，基本不以為意。老愛講中國人缺乏邏輯頭腦，不擅數學。

因為我們的教科書自己都說：中國的天文曆算，在利瑪竇這些傳教士進來以後就都不行了，被洋人打敗了，連欽天監都改由洋人當了。中國數學還有什麼好牛的？

換言之，我們現在的數學，跟大眾認知很有落差，是不行的。以致學界又普遍往上推論說早就不行，甚至是從來就不行。且由於數學不行，所以科學才不行。

講數學史的人，很想為中國數學辯護，可是歷史研究又不太在行，往往只從《九章算數》談起。不知在此書及更早的湖北江陵張家山出土《算數書》竹簡以前，那些整數、分數、開方術、方程術、求積數、勾股術……等早已存在。所以又把中國的數學說得發達晚了。

而正因為「因子明理」是中國人古老就有的態度及方法，故算數的傳統悠久而龐大，不是做純數學研究的專家所能囊括掌握（例如曆法、圍棋、《易經》、樂律都是數文化的產物，可是現在的數學家基本上不做相關研究），是以想辯也沒法辯。

這樣，我的作用就顯出來了。哈哈，底下我稍微介紹一下我國的「數傳統」，並略辯它現在被誤解之故。希望鼓舞現在的年輕人繼續鼓勇前行。

周朝時教國子以六藝：禮、樂、射、御、書、數。數即已為國子的基本知識能力，與書並列。

上古之書，原初也常被認為即是由數術衍成，如結繩記事。

結繩如何記事呢？據說是「事大大其繩，事小小其繩。結之多少，隨物眾寡」。大小是質的概念，多少就是數的概念，以數覈質，計量而知其事也。其後改用書契。《釋名》：「契，刻也，刻識其數也」，也仍是計數而知事。

故結繩與書契，其始皆是用數來讓人知事意的。後來書獨立發展另成文字符號系統；刻識數字之法也獨立發展，乃成為算數。《世本》稱黃帝時隸首作算數而蒼頡沮誦作書，即指這兩個系統分化且各自獨立的事。

現在講文字學的人，又只推文字起源於圖畫，忘了它曾從算數來。

計數之法，一件事刻一畫，兩件事刻兩畫，五件事以上就不好刻了，所以要發展計數符號。甲骨文，從一到萬都有。其倍數，如五十、八十、三百、五百，則以合文見意。形成計數符號。

數積累，則須有一套計數的方法，我國是採十進制、位值制。這樣就可推加到《尚書》中說的「億兆」，《詩經》說的「千億」。

但計數不只是數數而已，一一相加之外，尚可有減、有乘、有除。現今「九九乘法表」已確定在周朝以前就有了，最早起於何時尚不可知，然《管子．輕重》云：「庖犧作九九之數」，劉徽《九章．注》云：「庖犧始畫八卦，作九九之術」。是否伏羲時就有，現在我們膽小，還不敢承認。但十進制及九九乘除法，中國均為世界最早的發明與使用者，則無可疑。

一到萬、億、兆都是整數，正數。可是數會不會也有負的呢？譬如一個人「抱布貿絲」（詩．國風．氓）去做買賣，一定有賺有賠。賠了，用數來表示就是負數。而一張餅，三個人分、五個人分，用數來表示，就是三分之一或五分之一的分數。負數分數之發現與運用，中國亦最早。甲骨文中即已有了分數。

數越來越大，再加上分數、負數，往往即非心手思慮所能盡，這時就要仰賴輔助工具，一如現代人用電腦去算。古人則是用算籌，後來又發明了算盤。

算籌是跟占卜的蓍草一同發展而成，來源當然極古；珠算的前身，則可能是陜西周原出土的那種四十多枚陶珠，起源似也不晚。漢徐岳《數術記遺》述黃帝時隸首所傳之術，其中即有珠算，《注》謂刻板三分，上下二分，以停遊珠，中間一分以定算位。則亦古法也。這類計算工具，在計算機未發明前，舉世無與倫比。

運算方面，最遲在漢代已能解任意多元一次聯立方程式，歐洲要遲到十六世紀才能解三元一次方程式。

開平方根、開立方根，亦早見於《九章算數》。開任意高次根，解於宋代，五百年後，西方才會。

求一元高次方程式的數值解，也早於西方八百年。

不定方程式，同樣也是我國最早、最發達。

在求圓面積方面，中國算出圓周率（三點一四一五九二九）早於西方一千一百年。

等差級數求和的辦法，又早於西方五百年……。

凡此，皆可說明古中國人是善於計數的。

懷海德（White Head）曾說：「代數是演示世界定量性的利器」，精於計數而且代數學格外發達的中國人，正是以此為方法去對世界進行定量分析。故數術之用，其實無所不在，並不限於純數學的領域。

《漢書．藝文志．術數略》所載，即含六類：天文（含占星、占雲）；曆譜（包括宿度，日晷、世譜、年譜、算術）；五行（包括陰陽、五行、時令，堪輿、災異、刑德、叢辰，天一、太一、遁甲、孤虛、六壬、羨門、五音等）；蓍龜（包括龜卜、筮占）；雜占（即占星氣、龜筮之外的占法）；形法（包括相地、相人、相六畜、相刀劍）。

這些現在看起來似多與數學無關，但放在中國思維傳統中，卻一直是納入數範圍裡去理解的。均為數之術，故曰數術或術數。

如「筮，數也」（左傳，僖公十五年）；相法，則是相「人及六畜骨法之度數」（藝文志）；曆法，向稱曆算；五行太一等等也是算。

故《數術記遺》載：「隸首注術，乃有多種。及余遺忘，記憶數事而已：其一積算、其一太乙、其一兩儀、其一五行、其一八卦、其一九宮、其一運算、其一了知、其一成數、其一把頭，其一龜算，其一珠算，其一計算」。

可見傳統上對數的應用範圍極廣，直至《四庫全書》仍把術數分為「數學」、「占候」、「相宅」、「相墓」、「占卜」、「命書」、「相書」、「陰陽五行」六類，大抵呼應了《漢書》及其以前的看法。亦可見此一傳統是如何源遠流長了。

綜合這些，適可呼應懷海德之說，顯示古人是如何地用數來對物理世界進行定量分析。

這種方法，《數術紀遺》推源於上古，恐怕反而合乎事實。上古時代人對世界之描述與分析，或以言說為萬物命名；或立像，以盡意示情；再者便是用數了。因子以明理，用數以詮世，乃是古人習用之法。

待文字系統成為主要表意及思維工具後，此法才逐漸變成旁支，部分一轉為專門算學，不再是一般人所習用慣為的方法；一部分，則被視為末流，流入小傳統中去存續發展，如各史籍叢錄所載數術方伎，其實皆為此古數術之流裔與發展也。

顧炎武《日知錄》嘗云：「三代以上，人人皆知天文。『七月流火』，農夫之辭也，『三星在戶』，婦人之語也。『月離於畢』，戍卒之作也。『龍尾伏辰』，兒童之謠也」。

龍尾伏辰見《國語．晉語》；七月流火、三星在戶、月離於畢則都見於《詩經》。可見天文曆算，是古人的基本生活知識。周人教國子以六藝，其一為數，亦為此意。後世則漸成為專業。

成為專業之後，當然在專業性的數學推算方面可迭創新猷，頗有進展。但以數做為基本思維方法，對世界進行定量分析的型態，卻不免起了變化。知識分子逐漸不以數為其基本能力，數術遂既神秘化（一般人不了解），又邊緣化（在正統知識體系之外）了。此等流變，黃帝若及見之，定當浩歎！

對於古代如此龐大的用數現象，該如何理解呢？

現代人是用各種方式看輕它。

首先說沒有，中國沒有數學，《幾何原本》翻譯過來以後才有。

若被中國古代輝煌的數學史實打臉了，則說那些只是實用計算，並非抽象計數、邏輯推理。或乾脆說是原始思維，混雜著迷信。

然而 — —

李維．布笛爾（Lucien Levy-Bruhl）《原始思維》一書認為原始人並無抽象的數的概念，因此大抵無五六七以上的概念，只懂得個體增益，由一連續相加。其後才漸有邏輯思維，懂得計數。但也並不是說數在這個時候就已抽象地被想像了，或已經會用數邏輯地運算了。他們的思維有幾個特點：一是數與屬於這個數的東西，性質互滲。例如，他舉例說，北美、印地安部族往往賦予「四」神秘意義；而中國古代的四季、四方、四象相配，五色、五方、五行相配，數與物相對應互滲的複雜程度也是可驚的。此即一種原始思維。數尚不能構成一個數的序列，故亦無數學或邏輯運算。

若據此說，原始思維固然包括我國數術類中的五行、形法等類。然而，天文曆數等，能說是不懂得用數理運算的原始思維嗎？把一些人類學家對原始部落的調查，拏來解釋我國的數術系統，其實是極不恰當的。

再就是運算。數與數加減乘除之，便就是運算。

如八卦為一至八之數，八八即成六十四卦；而一至八之排序方式，則可達四〇三二〇種。六十四卦，若依《正義》說：「二二相耦，非復即變」，復就是反覆之覆，把一卦倒過來看就成了另一卦。變，則是某一卦中陽爻變陰爻、陰爻變陽爻，也可變成另一卦。用數學形式表達的話，就都叫做運算。古人用蓍草，或用算珠來運算，天文、曆法都須靠這個方法。

運算之術甚多，巧妙各有不同，許多數學演算，我們也不能確知其來歷。

例如《史記．日者列傳》載漢武帝聚會占家決定嫁娶擇日，便有五行、堪輿、建除、叢辰、曆家、天人、太一七家。「五行」是以金木水火土配一二三四五而計數的。「曆家」大約以十二地支、十二月、十二辰為數。「建除」，是依建、除、盈、平、定、執、破、危、成、收、開、閉排列，故正月建除為寅至丑、二月建除為卯至寅，依次順數。「叢辰」，按結、陽、交、害、陰、達、外陽、外害、外陰，擊、夬光，秀排列，四名配單日、四名配陰日，以觀宜忌。「堪輿」是以東西南北中方位配數，據數推算之。

各種占家各有他們一套對數的規定以及運算的規則，依這些規定邏輯地演算，故得出來的結果未必相同。

各家對數的規定和它們所定下的演算規則，為何是那樣，術者通常不知，來源也不多曉。它們各自依演算構成一套符號系統。後人若上求而推考之，大抵就像後世各種易經像數學描述易卦成卦之原理般，往往也是各說各話。至今談易經邏輯者，殆亦如是。

不過，各術推數時，對數也有些基本認定。

如一，是起本體作用的概念。講時間，它是起點或開端。論空間，它是中心或樞軸。論數學，它是餘數，也是奇偶數轉換的加數，又稱餘奇或奇賅。兵學中有所謂《握奇經》者，奇就是指一，又稱奇零。這樣居極重要地位的一，有時也會以「太」來形容，稱做太一。神之最尊者，便稱太一。

二是對分與兩極的概念，一物對分則為二，二者相對相待。

三，是兩極加中央的概念。是二加一。以宇宙說是三才，天地人。以空間說，是三位，左右中或前後中。

四，是兩分再兩分的對稱觀念，一年分四季、一地分四方。

五，是四加一，如四方加中央；也是十進制的一半，亦即二五為十；又是兩種三（如前後中或左右中）相合的概念，稱為參伍，如《繫辭》云：「參伍以變，錯綜其數」。

六，是兩個三，所謂：「兼三才而兩之，故六，六者非它，三才之道」，易有六爻、律有六律。

七，七政（日、月、歲星、熒惑星、填星、太白星、辰星），北斗七星。

八，四再加四，如四方加四隅即為八方，八方又有八風（炎風、滔風、熏風、巨風、淒風、飂風、厲風、寒風）。

九，三乘三，或八加一而成。空間上是九宮，又有九天、九地、九山。

十，合兩個五而成，或逢九進一。十二，九加三，或四乘三，如十二地支、十二辰、十二次、十二宮。

這些對數的認定，有點像畢達哥拉斯以一為理性、二為俗見、四為正義、五為結婚之類。數本身有其性格，也有義涵，運算的人不會故意去違背這些基本認定，例如刻意把九看成是七加二，或不以九為數之極；也不會去推一個大數是七十一而非七十二。十之後也沒有人會去重視十一或十三、十四，只會強調十二，這就是運算時的一些基本限定，所有術家都要在這個限定下推算。

數術各派自有其傳承之推算方式，這部分，非其門派中人就常莫名其妙。像河圖洛書，略如後世揲蓍或籌算得出來的數，只是個結論。推的原則與過程，卻不像易卦如何成卦已經〈繫辭下〉用大衍之數做了說明，故其數何由而得，遂不可知。易卦原先成卦的方法，恐怕也不見得就是〈繫辭〉所說的那種辦法。

因為由考古材料看，早期筮法的蓍數和分扐程序，與〈繫辭〉所述不盡相同，傳說中的《連山》、《歸藏》也不會是跟《周易》用同一種筮法。因此，現在說的這種成卦法，恐非原先成卦之法。原初如何成卦，依然難以確知。

漢代以後，數學用籌算，事實上就是仿蓍揲，或者說筮法與算法本為同一件事。易之算既用大衍之數，推曆同樣也是如此。故《漢書．律曆志》說：「其算法用竹，徑一分，長六寸，二百七十一枚而成六觚，為一握」。然此是否即為古運算之法，亦不可知。

因為現在易卦的乾，代表的數字是九；坤代表的數字是一。若依〈說卦〉，乾為四，坤為十。可是馬王堆帛書《周易》卻是用一表陽爻，八表陰爻。其運算之法，必不同於今本。

這看起來是考古方面的事，但亦可看出：

數思維發展出一大堆因子明理的方法或技術，如《數術紀遺》所述隸首之法，積算、太一、兩儀、五行、八卦、九宮、運算、龜算、珠算等，或《漢書．藝文志》所記天文、曆譜，五行、蓍龜、形法等，也屬於這個傳統。這個傳統太龐大了，後世實在難以為繼。

難以為繼的原因有三：

一是用數者多，太過發達之後，其術分化太早，漸漸不同術者便不能相知，對於彼此用數的方法及依據已難了解。

二是數術漸漸專門技藝化，與職業關係太過密切。以致具普遍性意義的數思維與因子明理的態度，不再是人所共需共有之知能。相對於一般人來說，專業化當然也就神秘化了，持術者要維持專業尊嚴，會故神其說，也會故晦其跡，不令外人知其得數之由。平常人亦詫其得數之法奇奧難知，故以為神奇。

三、後世天文曆算等，僅存於疇人之中，視如方技，即是因為職業專技化之後，奉其學者僅知其技術度數，而不復究其理，不復知其所以然。所以數傳之後，便如家傳醫坊的子弟，雖仍能隨方抓藥、視症下針，對醫理藥理卻不見得通達。僅能依古式演算或得數而已，對於中間的演算過程以及運算之理，漸覺昧然。

研究中西數學史的朋友，常惋惜中國數學往往只有問題與答案，卻乏中間運算的過程，也不說明證明的方法。原因大概不是什麼中國人缺乏數學頭腦、不擅數理思維等等，而是上述這些理由。

當然，還有另一個更主要的原因，那就是文字的崛起與競爭。文字與數是兩種符號系統，它們並時而起，各自發展。可是文字系統後來越來越成為主要的思維與表意體系，數縱使與象結合以抗衡之，仍難匹敵。

這種文、象、數諸符號系統之競爭史，本是吾國思想嬗遞起伏之大綱維大脈絡，我們現在也有待梳理。

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編按：數學家朱載堉於明萬曆三十一年（西元1603年）八月刊行《算學新說》，所求平方根、立方根多至二十四、五位。

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