上期提要：前一篇文章中，我們提到機率是人類認知的罩門。人類腦袋天生對於機率的計算有障礙，使得風險評往往偏離事實，跟隨而來的決策行為就常常產生偏誤而付出不必要的成本。如乳癌檢測的解讀，因誤判機率(風險)，而進行的過度醫療行為，就會產生的療資源浪費。又如這次疫情，若因為對普篩準確率的誤解，貿然用於超前部署的工具，反提高疫情失控的可能，將造成人命的損失。同樣的道理，研究員也是人，所以機率也造成研究工作上的罩門。我們將也看到因為對機率(風險)的誤判，造成投資上的不必要的損失。
以下的場景，相信從事股票研究的人，應不陌生：
A君為某公司的Key man(但不一定是內部人)，研究員與其打交道多年，發現其預測公司獲利每10次會說中1次。現今在一次飯局，酒酣耳熱之後，A君滿心歡喜，竊竊私語地對研究員表示，今年公司接到一大客戶訂單，他預測可賺一個資本額，且信誓旦旦說，此次有九成的把握(註：真的EPS=10，且說中，即；真陽性)，而失誤率約五成(註：EPS不是10元，卻以為10元，即；偽陽性)，請問研究員就此研判該公司今年EPS為10元的機率有多高？這種利用各種管道，取得內線消息(不一定違法)，試圖造就資訊不對稱性，在投資市場取得優勢而獲取利潤的模式，在實務投資界並不少見。然而費盡心力所得到的獨家訊息，在解讀時，常犯偏誤卻不自知。以上面的例子，套用與上期文章中乳癌檢測相同算法(貝氏定理)， 答案只有16%，跟A君信心滿滿說九成把握，其實差得遠呢！但實務上，因線民講的信誓旦旦的說詞，就冒然下重注，結果是損失慘重的例子卻時有所聞，落得只能自我調侃：這一頓飯真貴，花了我上百萬！
人類的直覺與機率世界往往有很大的落差。上例中，用統計學(機率學)的角度，經由上期的分析，我們知道主因是在於：盛行率。若用心理學的角度，就是人天生會犯忽略基率(base rate)偏誤。諾貝爾經濟學獎得主康納曼在<<快思慢想>>一書中，將這種偏誤的成因解釋為，人類腦中啟動系統一運作方式主導了我們的心智思維，也就是在好逸惡勞的天性下，我們只輕鬆地取用眼前表徵訊息，會忽略代表長期的基礎率。作者告誡我們(P209)＂關於貝氏推理以及我們如何傾向犯錯，有兩件要記在心頭：第一就是基率很重要，即使你手邊有這個個案的證據，基率還是很重要。這一點在直覺上通常不是很顯著。第二點就是診斷證據給人的直覺印象常常是誇大的。＂
上面例子雖說不少見，但實務上即使你已學會貝氏定理，想要計算出真正可能的機率卻有困難，因為例子中，基礎率1/10、真陽率90%，偽陽率50%，這三個關鍵數字，在真實世界裡，很難獲得明確的數字，它不像自然科學，可以經由不斷在實驗室裡重複實驗得來；也不像流行病學，可以經由過去的統計資料進行大數據研究，得到參考的數值。筆者從事多年研究工作的心得是，一家公司若沒有長時間追蹤三、五年以上，很難對上述關鍵數字成形可靠的經驗值(但也不是精確值)，但能如此熟悉的公司畢竟是少數(這與巴菲特講每人的競爭優勢圈有限不謀而合)。大多數的實境是，研究員日常工作是窮盡洪荒之力蒐集資訊(公開或未公開)，再解讀資訊進行預測的過程，其實是一種「小數據」推理。在擁有有限資訊(樣本)下，如何做到＂一葉知秋＂的精準預測，而不犯下＂以偏概全＂的錯誤推測，就是研究員工作最大的挑戰。
小數據推理的成因與潛在陷阱，前述<<快思慢想>>有專章介紹，這裡不再引述。我們該如何避免犯錯呢？有沒有規則(rule)可遵循呢？貝氏推理(Bayesian reasoning)在決策上是一個常用的工具。
貝氏定理、貝氏推理都是後人為了紀念一位英國牧師，湯馬斯．貝斯(Thomas Bayes)所命名，貝斯(1702-1761)是一個牧師之子，就讀於愛丁堡神學院，他的著名論文<<論以機率學說解決問題>>是在他死後，得助於同為牧師的好友理查．普萊斯(Richard Price)整理其遺稿，才得以重見天日，於1764年發表在英國皇家學會期刊。貝斯最終想証明上帝是否存在(註1)，從而帶出一個具福爾摩斯式的問題：多少證據才能讓我們相信，某件我們原本不相信的事。或是另一種問法：以目前的證據，我們應該多相信(belief)這件事為真？例如一顆你不知它是公平的骰子，當你看到有人擲五次，出現四次5點，那麼你該多相信這顆骰子有鬼(不是每點都1/6的機率)呢？這種以終為始的逆機率(inverse probability)的思考(註2)，巧妙地以機率語言，表達出如何把證據轉成機率性可靠度(信念)。其過程可以用以下方式表示<<機率思考>>(P184)：
對某事新的相信程度=過去的相信程度+新證據的分量。
這直覺、簡單地令人驚訝的規則，卻在二百年後拯救了上千萬條人命。電影<<模仿遊戲>>(The imitation Game)描述的是數學家艾倫．圖靈(Alan Turing)在二戰中如何幫助盟軍破譯德國軍事密碼的真實故事。盟軍因為得利於破解納粹通訊密碼優勢，使歐戰提早了二年結束，避免了更多人命的犧牲。圖靈如何在混沌中找出秩序，成功破解，一直被當成最高機密嚴格保護，直到2012年才解密公諸於世，後人才了解貝氏推理是關鍵技術。解碼工作的核心挑戰就是將蒐集到的線索轉化成見解。從攔截到的敵方訊號，當成觀察到的資料，運用貝氏定理的逆機率計算，不斷反覆試誤(try and error)，從而逐漸趨近真實。
研究員工作核心是在問：這一家是好公司？與貝斯牧師問：上帝是否存在？看似風馬牛不相及，但這種大哉問，其背後蘊含的都同屬認識論(Epistemology)哲學思維—我們是用趨近法認宇宙，隨著我們收集的證據愈來愈多，我們越來越接近真理。在股票研究實務上，我們必須將這種大哉問試著具體化與量化，否則在實際操作上只會落於「清談」。因此，研究員工作核心問心問題，就可形塑與量化為類似問題：依目前的資料，我該多相信這家公司今年EPS=10元呢？此時的機率可以用來衡量一個人對某件事的相信度(Degree of belief)。所以，估計一家公司EPS的過程，與破解密碼有異曲同工之妙。研究員首先要根據現有的資訊加上過去經驗，建立一個先驗的(Priors)EPS預估模型，再經由不斷蒐集的新訊息(可能是公司本身或產業)產生新證據的分量，用以修正原先EPS的相信程度，產生新的相信程度，如此就是研究員的日常：一直不斷試驗，以求趨近真實EPS。因此，運用貝氏推理，可以捕捉到研究員看到新證據後，是如何改變心意背後的邏輯，同時確保「如何讓證據說話」的最佳方式。
五四運動學者胡適所提倡科學的治學精神：大膽假設、小心求證，與貝氏推理可說英雄所見略同。只不過後者，更明確點出，假設就是建立先驗經驗，小心求證就是估算新證據的分量。至於在實務操作上如何建立先驗經驗，如何估算新證據的分量，則又是另一值得探討的議題了！
(註1)：貝斯完成論文後，就將作品束之高閣，至今後人無法曉得為何貝斯從未發表這篇論文，也不知道他為何想出這個理論，只能從伴隨論文所表時，由普萊斯所寫導讀中猜測出來。
(註2)：若我們已知是一公平骰子，求連續出現四次5點的機率，則屬於正向機率。
