為什麼報酬未必越高越好?凱利公式提示

閱讀時間約 4 分鐘

報酬與風險

投資要追求更高的報酬率。
這句話聽起來似乎理所當然,然而當風險與報酬相伴時,又怎麼看待這句話?
坊間流傳著:
股市中一賺兩平七賠。
股市起起伏伏
對於這個說法,貓貓聽過許多人歸因於散戶追高殺低的心態,或是歸咎於風險承受能力不足。無論是投資、投機,許多名嘴、網紅一再地強調抱住就好,長線持有,或是判斷未來以打敗大盤。然而面對眾多紛紜的說法,選擇相信任何一種都需要支持性的論證。
貓貓在學習投資觀念時,見到凱利公式這個說法。於是試著套用凱利公式來觀察報酬與風險間的關係,並提出報酬率 r 與風險 x 間的不等式,說明什麼情況下 All-in的期望報酬率反而降低。

凱利公式(Kelly criterion)

基本介紹

A new interpretation of information rate 中,J. L. Kelly 宣稱:
If the input symbols to a communication channel represent the outcomes of a chance event on which bets are available at odds consistent with their probabilities (i.e., “fair” odds), a gambler can use the knowledge given him by the received symbols to cause his money to grow exponentially. The maximum exponential rate of growth of the gambler's capital is equal to the rate of transmission of information over the channel. This result is generalized to include the case of arbitrary odds. Thus we find a situation in which the transmission rate is significant even though no coding is contemplated. Previously this quantity was given significance only by a theorem of Shannon's which asserted that, with suitable encoding, binary digits could be transmitted over the channel at this rate with an arbitrarily small probability of error.
本篇暫且只考慮關於賭局的觀念:
藉由賭局中有限的資訊,例如賠率及機率,最大化資本增長率,使得本金以最佳的指數增長率成長。

計算假設

假設在丟銅板遊戲中,猜對的機率為 p(猜錯為 1-p),而有著對應的不同報酬率(有賺有賠)。此時設定投入比率為 f,在適當的 f 時,可以有報酬率的極值。
丟銅板遊戲中的凱利公式
當我們考慮公平遊戲時(沒有內線消息),可以藉由賺與賠的幅度來決定最佳的投入比率 f。

遊戲模型

假設報酬率基準為 r、風險為 x,以下假設 r>0 且 x>1。此時考慮可以放心 All-in 的條件,提出報酬率基準 r 與風險 x 間的關係。

情境一

以算數平均報酬為基準
此時報酬基準 r 顯然決定了風險 x 的上限,當報酬增加對風險控制要求越高。反過來說,當風險控制好,x 成一個常數,報酬也有限制。

情境二

以幾何平均報酬為基準
情境二與情境一類似,除了關係較複雜外,結論是一致的。

其他情境

當我們將上述情境推廣,考慮報酬率的連續分佈,可以採用常態分佈、穩態分佈或是任何可能的分佈。積分出報酬的對數期望值,並求其極值,即可得到相應的最適投入比率。

討論

凱利公式藉由調整投入比率,即可最佳化資產增長。然而對於報酬率,不同的情境假設著不同機率分佈,對於機率的假設主導著計算結果。
在上述討論中,完全與心理狀態無關,不去評論個人的風險承受能力,僅以最大化報酬為考量。
在投資標的固定的情況下,報酬率基準可以藉由保留現金(0<f<1)、All-in(f=1)或槓桿(1<f)來調節。對於投資者,控制風險本身可以是最大化報酬的理性選擇,無論積極或保守。
本篇討論藉由公平銅板假設,假設無法預測未來。而當有人能夠比市場共識更精準地預測未來,會有不同的機率預期,或許就有不同於此篇的結論。
即將進入廣告,捲動後可繼續閱讀
為什麼會看到廣告
avatar-img
24會員
25內容數
貓貓原先想著做個筆記,把讀到的文章、影片整理出心得所以取名貓筆記。 不過既然目前見到許多投資文章可以讀,那麼就決定從茶米油鹽開始,改名貓家計。
留言0
查看全部
avatar-img
發表第一個留言支持創作者!
你可能也想看
Google News 追蹤
Thumbnail
這個秋,Chill 嗨嗨!穿搭美美去賞楓,裝備款款去露營⋯⋯你的秋天怎麼過?秋日 To Do List 等你分享! 秋季全站徵文,我們準備了五個創作主題,參賽還有機會獲得「火烤兩用鍋」,一起來看看如何參加吧~
Thumbnail
11/20日NVDA即將公布最新一期的財報, 今天Sell Side的分析師, 開始調高目標價, 市場的股價也開始反應, 未來一週NVDA將重新回到美股市場的焦點, 今天我們要分析NVDA Sell Side怎麼看待這次NVDA的財報預測, 以及實際上Buy Side的倉位及操作, 從
Thumbnail
Hi 大家好,我是Ethan😊 相近大家都知道保濕是皮膚保養中最基本,也是最重要的一步。無論是在畫室裡長時間對著畫布,還是在旅途中面對各種氣候變化,保持皮膚的水分平衡對我來說至關重要。保濕化妝水不僅能迅速為皮膚補水,還能提升後續保養品的吸收效率。 曾經,我的保養程序簡單到只包括清潔和隨意上乳液
Thumbnail
凌晨美國台積電ADR大漲 今天台股也隨著台積電的上揚,即將觸碰到兩萬二,台積電688已經不是笑話,台積電今天有來到899元,新的梯次又出現了。 這次噴出的原因是什麼,市場上主要傳言有三個: 第一,魏哲家「最智慧建言」:買台積電股票! 台積電於113年6月4日召開股東會,劉德音被股東詢問說能否
Thumbnail
這篇文章談論如何設定股票目標以及如何保持持股心態,詳細介紹了作者的心路歷程和他對於股價變化的反思。
Thumbnail
為甚麼不該偏心報酬率,而是該專注於「本金+絕對金額」 本金加絕對金額,就會讓你在「本多終勝」賽道脫穎而出 本多終勝 當本金越少,想要的絕對金額越高,就得提高報酬率,相對「風險也會提高」 當累積本金越多,同樣報酬率下,獲得的絕對金額卻是高的。
Thumbnail
首先,槓桿ETF通過使用衍生性金融工具實現槓桿效果,可以放大報酬,但也伴隨著高風險。這種放大效果需要每日重新平衡,這意味著長期持有可能會受到波動性耗損的影響。 複利效應是一個需要特別關注的問題,當槓桿ETF在上漲市場中表現出色時,它可以帶來更高的報酬,但在下跌市場中,虧損也會更大。波動性耗損是另一
Thumbnail
很多人不能理解為什麼算投資報酬率的時候要把【未投入現金】當作成本來看。為什麼不能只看有買賣的部分就好。 當然這就會談到【機會成本】。簡單來說就是如果你把這些錢放到某項投資工具上時可能會賺到多少錢。
Thumbnail
第一次接觸到一人公司的概念,大抵是從我開始從事個人工作之後一年左右開始。那時候覺得,似乎在生意成長的過程中遇到了某種我無法料想得到的瓶頸,又覺得我對要以一人進行工作,該處理哪些實務面的項目知道得太少。所以我開始想找找看那些創業家是怎麼開始,怎麼宣傳,怎麼在停滯期繼續前進。
Thumbnail
圖片來源:Unsplash。 股神巴菲特( Warren Buffet )曾說:「永遠不要跟美國對作!」 美國一直以來都是世界經濟的領頭羊,標普 500 指數更是投資人最耳熟能詳能直接投資美國市場的標的,過去 10 年追蹤美國標普 500 指數的 VOO 過去10年漲幅 348.79%,亮眼的報酬表
Thumbnail
管理顧問大師彼得・杜拉克說:「效率是正確地執行事務;效能則是執行正確的事務。」當你每天事情做不完,像無頭蒼蠅一樣忙東忙西,但一整天下來發現自己似乎也沒做什麼,此時就需要提升你的「效能」,才能停止瞎忙。 帶你「創造」出容易做、又有高報酬的事,分析「PICK 框架」如何助你提升效能?
Thumbnail
【近況更新】西城最近在做什麼?三份工作與運動生活!投資報酬率更新! 好久沒有更新文章XD 在粉專以及朋友同事親戚的關心下,決定來寫一篇文章交代一下近況,主要以工作和生活兩個段落下去撰寫。
Thumbnail
這個秋,Chill 嗨嗨!穿搭美美去賞楓,裝備款款去露營⋯⋯你的秋天怎麼過?秋日 To Do List 等你分享! 秋季全站徵文,我們準備了五個創作主題,參賽還有機會獲得「火烤兩用鍋」,一起來看看如何參加吧~
Thumbnail
11/20日NVDA即將公布最新一期的財報, 今天Sell Side的分析師, 開始調高目標價, 市場的股價也開始反應, 未來一週NVDA將重新回到美股市場的焦點, 今天我們要分析NVDA Sell Side怎麼看待這次NVDA的財報預測, 以及實際上Buy Side的倉位及操作, 從
Thumbnail
Hi 大家好,我是Ethan😊 相近大家都知道保濕是皮膚保養中最基本,也是最重要的一步。無論是在畫室裡長時間對著畫布,還是在旅途中面對各種氣候變化,保持皮膚的水分平衡對我來說至關重要。保濕化妝水不僅能迅速為皮膚補水,還能提升後續保養品的吸收效率。 曾經,我的保養程序簡單到只包括清潔和隨意上乳液
Thumbnail
凌晨美國台積電ADR大漲 今天台股也隨著台積電的上揚,即將觸碰到兩萬二,台積電688已經不是笑話,台積電今天有來到899元,新的梯次又出現了。 這次噴出的原因是什麼,市場上主要傳言有三個: 第一,魏哲家「最智慧建言」:買台積電股票! 台積電於113年6月4日召開股東會,劉德音被股東詢問說能否
Thumbnail
這篇文章談論如何設定股票目標以及如何保持持股心態,詳細介紹了作者的心路歷程和他對於股價變化的反思。
Thumbnail
為甚麼不該偏心報酬率,而是該專注於「本金+絕對金額」 本金加絕對金額,就會讓你在「本多終勝」賽道脫穎而出 本多終勝 當本金越少,想要的絕對金額越高,就得提高報酬率,相對「風險也會提高」 當累積本金越多,同樣報酬率下,獲得的絕對金額卻是高的。
Thumbnail
首先,槓桿ETF通過使用衍生性金融工具實現槓桿效果,可以放大報酬,但也伴隨著高風險。這種放大效果需要每日重新平衡,這意味著長期持有可能會受到波動性耗損的影響。 複利效應是一個需要特別關注的問題,當槓桿ETF在上漲市場中表現出色時,它可以帶來更高的報酬,但在下跌市場中,虧損也會更大。波動性耗損是另一
Thumbnail
很多人不能理解為什麼算投資報酬率的時候要把【未投入現金】當作成本來看。為什麼不能只看有買賣的部分就好。 當然這就會談到【機會成本】。簡單來說就是如果你把這些錢放到某項投資工具上時可能會賺到多少錢。
Thumbnail
第一次接觸到一人公司的概念,大抵是從我開始從事個人工作之後一年左右開始。那時候覺得,似乎在生意成長的過程中遇到了某種我無法料想得到的瓶頸,又覺得我對要以一人進行工作,該處理哪些實務面的項目知道得太少。所以我開始想找找看那些創業家是怎麼開始,怎麼宣傳,怎麼在停滯期繼續前進。
Thumbnail
圖片來源:Unsplash。 股神巴菲特( Warren Buffet )曾說:「永遠不要跟美國對作!」 美國一直以來都是世界經濟的領頭羊,標普 500 指數更是投資人最耳熟能詳能直接投資美國市場的標的,過去 10 年追蹤美國標普 500 指數的 VOO 過去10年漲幅 348.79%,亮眼的報酬表
Thumbnail
管理顧問大師彼得・杜拉克說:「效率是正確地執行事務;效能則是執行正確的事務。」當你每天事情做不完,像無頭蒼蠅一樣忙東忙西,但一整天下來發現自己似乎也沒做什麼,此時就需要提升你的「效能」,才能停止瞎忙。 帶你「創造」出容易做、又有高報酬的事,分析「PICK 框架」如何助你提升效能?
Thumbnail
【近況更新】西城最近在做什麼?三份工作與運動生活!投資報酬率更新! 好久沒有更新文章XD 在粉專以及朋友同事親戚的關心下,決定來寫一篇文章交代一下近況,主要以工作和生活兩個段落下去撰寫。