方格精選
市場賽局，從 Nash equilibrium 到資產定價
閱讀時間約 4 分鐘
前言
從早先在《交易與共識，有限市場中套利》中，本貓貓試著將有限數量的投資人們各自對於資產的價值認定，當成交易行為的依據；接著在《市場估值，買賣之間尋求共識》來思考投資人們是如何將各自的價值認定彙整成一個市場價。貓貓認為，比起直接使用《理性混沌，風險分散、最佳槓桿以及 Newton's Fractal》中採用的無限大市場，更加仔細地討論個別投資人的行為會很有意思，且不論有沒有辦法實際運用。
對於本貓貓的嘗試，狂徒兄給了貓貓一點建議的參考資料:
說到「供需」定價，不禁想到一篇和因子投資有關的 paper，可供參考
A Demand System Approach to Asset Pricing
https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=2537559
比資產特性更底層的定價因素，就是雙方的買賣意願。
雖說懶散的貓貓還沒有怎麼讀，不過說起意願，貓貓聯想到賽局。賽局可以將各個投資人的可能行為與其他投資人行為的互動作更加完整的探討，來考慮當投資人作決策時，如果考慮了其他人的決策會如何。畢竟投資人是"參與"在市場中的，而不僅僅是在玩單機遊戲。
賽局
投資人行為與納許均衡
競爭合作賽局
賽局類別
在此分類，僅有不依照對手反應，穩定選擇合作或競爭的類別為純策略賽局；相對的，依照對手選擇而要模仿或顛倒的，只有混合策略賽局。
期望收益與均衡偏好
此時，當發生比 odds>0，才能有效定出混合策略納許均衡；而當 odds<0，則有純策略納許均衡。
市場定價行為
討論
在本篇的考慮中，並沒有特意考慮賽局局數的問題，只是簡單的藉納許均衡的觀念，來將定價問題表示成一種原則上可以處理的賽局。然而賽局的複雜度隨著參與人數成指數成長，使得找出能以多項式複雜度來處理資料的方式顯得重要。只是關於複雜度的問題超出本篇的討論範圍，就先放著。相關文獻或許可以參考“The complexity of computing a Nash equilibrium”，其摘要如下:
We resolve the question of the complexity of Nash equilibrium by showing that the problem of computing a Nash equilibrium in a game with 4 or more players is complete for the complexity class PPAD. Our proof uses ideas from the recently-established equivalence between polynomial time solvability of normal form games and graphical games, establishing that these kinds of games can simulate a PPAD-complete class of Brouwer functions.
而在本文中用以介紹納許均衡的兢爭合作賽局範例，當思考賽局類別的時候很有意思的有以下觀察:
- 存在不依對手的選擇，而總是選擇競爭或合作的賽局。(囚徒困境及其相反)
- 存在依照對手的選擇，而對應選擇模仿或顛到的賽局。(以牙還牙或唱反調)
- 分類賽局的條件僅是假設對手作出選擇，此時最佳應對為何?
- 當賽局類別是模仿，混合策略達到的期望收益嚴格小於合作-合作的收益。
- 當賽局類別是顛倒，混合策略達到的期望收益嚴格小於對方合作、自己競爭的。
- 若有條件對賽局類型稍作改變，身處模仿賽局的人可以藉由調整 o--相對o-的大小，使得賽局傾向合作，從而獲得較高的收益。(依據觀察4)
- 然而對於身處顛倒賽局的人，可能目標為對方合作、自己競爭(依據觀察5)，難以在對稱收益的情況下，實現提升收益。
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