如果確診病例中，有一半是有打疫苗還中重症，那打疫苗有用嗎？

這兩天的新聞，『如果確診病例中，有一半是有打疫苗還中重症，那打疫苗有用嗎？』，在討論這個問題之前，我們必須知道樣本的總數才能分析，因為這關乎到此機率是否有意義。

一、首先是，打過疫苗的總人數與未打疫苗的總人數。
二、接下來，已打疫苗組的確診數與未打疫苗的確診人數。
三、最後是，已打與未打疫苗的中重症人數。

其實只要知道二與三的人數，就能判斷打疫苗有用或無用的答案了。

假設確診人數有2000人，如果打與未打的民眾比例是9：1，那其中1800人是打過完整三劑疫苗，剩下的200人未施打過疫苗。最後中重症人數10人，已打疫苗與未打疫苗人數分別5人。

那未打疫苗中重症的機率是 5 / 200 = 2.5%，已施打疫苗中重症的機率應該是5/1800 = 0.28%，在得知完整的樣本總數後，雙方正確的中重症是2.5% vs 0.28%，有沒效果自然就一清二楚了。

但是，大叔今天不是要跟你說打疫苗的事。

如果今天有辦法做一個採樣，取得那些財務獨立的散戶投資人的總人數，在此處我們特別好奇主動投資與指數化投資的機率問題。

假設主動投資與指數化投資人的比例是95%：5%，總投資人數有2000人，那其中1900人是熱愛主動投資，剩下的100人擇是堅持買進並持有，雙方最後能財務自由的人數為480人。

此處假設主動投資人能財務自由的機率為20%，所以有380人，指數化投資是100人都能完成財務自由的目標(前提當然是你有確實做到)。

從最後完成財務自由的總人數來看，主動投資380大於指數化投資的100人，可是如果從樣本總數來分析，主動投資能財務自由的機率為 380 / 1900 = 20%，但是指數化投資能財務自由的機率卻是 100 / 100 = 100%。

實際上有使用指數化投資的人數只會更少，但這不會影響到原先100%的結果，現實中主動投資能財務自由的機率其實是低於20%，此處因為主動投資人的總數更多，所以報章媒體自然很容易找到財務自由的主動投資人樣本宣傳。

但是，如果我們從"財務自由人數/投資人數量"來思考主動投資效用的問題，很顯然其效用百分比是偏低的。

有些主動投資人會提出，指數化投資也會有低於100%的時候。確實有可能，甚至有可以在特定期間低於50%或更多的情況出現。

因為當股市出現系統風險，例如崩盤惑大衰退之類，指數化投資人的理財計劃同樣會被延誤，但是主動投資人別忘記在這些情況下，他們的投資績效同樣會受市場重挫影響。

當指數化投資人在指定時間有50%延誤，那主動投資人可能只剩5%不到能準時達成計劃，從原先的100%：20%變成50%：5%，其實指數化投資成功的機率下滑的比主動投資人還低，在景氣不佳的情況下，很多公司不只是獲利衰退，更多公司可能下市退出市場的，因此會下滑的更多，主動投資人實在沒什麼立場可以批評指數化投資有所延誤。

用最後的效用百分比來看，疫苗當然是越早越安全，指數化投資也是一樣的。