綁架愛麗絲 之 地下邏輯 018

作者: 黃盛

1 Down the rabbit hole: 論理型

掉下兔子洞

十五

吃論用了兩種聯結詞﹐一為條件號﹐另一為析取號。條件句有兩條規則。條件消去規則就是前面談過的肯定模式﹐以後我們稱它為「條件消去規則」。要是在一個證明中有「p ⊃ q」為前提﹐而其中一個前提是「p」或者在證明的過程中我們找到一個「p」﹐我們可以推斷出「q」﹐因為如果「p ⊃ q」是個真句﹐並且「p」為真﹐「q」不能假!

論理型5號﹕條件消去規則 (conditional elimination)

介紹了條件消去規則，下一條是條件引入規則。

條件句引入規則說﹐要是我們在一個證明的前提裡引入一個假設﹐稱它為「p」﹐而在論證的過程中﹐我們獲得「q」﹐那麼﹐我們可以推斷「p ⊃ q」。理由是「q」是因「p」的假設而成立的﹐這正好就是一個條件句的關係 (即「q」是以「p」為條件取得的)﹐因此我們可以推斷出「p ⊃ q」:

論理型6號﹕條件引入規則 (conditional introduction)

有一點非常重要﹐當我們推斷出「p ⊃ q」時﹐我們說「『p』已被撤銷(discharged)」。因為我們不能在證明中隨便加入假設﹐否則所謂的「證明」便都只是舉手之勞。這樣的「證明」便沒有什麼意義了。所以﹐如果我們在一個證明中加入假設﹐這個假設最後必須要被「解決掉」。解決的目的是要使假設不再承擔假設的責任。解決的方法是在結論 (無需是最終結論!) 中「用」了假設﹐即結論是條件句﹐而假設是條件句的前件。這就是「『p』已被撤銷」的意思。

我們將會用到的最後一條規則是析取消去規則。這條規則通常以下面的論理型表達:

論理型7.1號﹕析取消去規則 (disjunction elimination)

這個表達式其實不是太清楚。這個論理型想要表達的是這樣的一個概念: 如果我們假設一個析取句為前提﹐而我們能夠從任一析取項獨立地推導出 (derive) 同一個句子﹐那麼﹐我們可以推斷「r」。用論理型7.1號做例子﹐譬如我們有「p ∨ q」做前提﹐同時﹐我們能夠獨立地從「p」推導出「r」﹐亦能夠獨立地從「q」推導出「r」﹐我們可以推斷「r」。

問題是﹐我們通常不會那麼幸運﹐前提中有「p ∨ q」﹐而下邊接連放著「p ⊃ r」和「q ⊃ r」。另一個問題是﹐「從任一析取項獨立地推導出同一個句子」中的「獨立地」這個概念在論理型7.1號中沒有得到適當的強調。

我們用一個比較繁複的論理型來表達同一個析取消去規則:

論理型7.1號: 析取消去規則 (disjunction elimination)

我們用條件句引入規則取得「p ⊃ r」﹐並且取得「q ⊃ r」; 「p ⊃ r」獨立地來自「p」﹐而「q ⊃ r」獨立地來自「q」。因此﹐只要「p ∨ q」是個真句﹐我們毫無疑問可以推斷出「r」，反正使用任一析取項 (「p」 或 「q」) 都可以取得「r」。

一切就緒。

我們可以直接證明吃論在形式上是否有效了。

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• 感謝《方格子》團隊的幫忙，我可以輸入馬蹄鐵符號 (⊃) 了! 以後的條件號將用回馬蹄鐵。🙂  

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