綁架愛麗絲 之 地下邏輯 014

作者: 黃盛

1 Down the rabbit hole: 論理型

掉下兔子洞

十二

有了上述的一點邏輯知識背境，讓我們重抄一遍愛麗絲的毒藥論﹐然後討論幾個邏輯問題。這是愛麗絲的毒藥論:

毒藥論[1]

我們稱這個愛麗絲用自然語言說出來的推理為「毒藥論 [1]」﹐然後我們約定如下:

• P = 瓶子標著「毒藥」
• H = 飲用瓶子里的水便有害健康

那麼毒藥論 [1]可以寫作

毒藥論 [2]

純用邏輯符號翻譯毒藥論，毒藥論便有這個形式﹕

毒藥論[3]

愛麗絲的小腦袋如是思考。

思考有了結果便行動﹐愛麗絲大起膽子﹐試了一試味道﹐還挺美味的 (一種混合著櫻桃餅撻﹑蛋奶糊﹑菠蘿﹑烤火雞﹑牛奶糖﹑熱奶油面包的味道)﹐於是想也不想﹐一口氣就把一瓶的飲料喝光了。果然不是毒藥﹐而且如願以償﹐她的身體竟然像望遠鏡般縮小。

「果然不是毒藥」﹐但愛麗絲的推論是錯的。

「果然不是毒藥」不能證明愛麗絲的毒藥論是正確的。條件句的前件的否定不能證明後件的否定就是對 (真) 的﹐即使碰巧後件是個真句。

愛麗絲的親身體驗證明她的論理的結論是真的﹐但真的結論不能證明她的論理有效﹗

我們要搞清楚幾點。

第一點﹐真結論不能證明論理 (argument) 的有效性(validity)。

用最淺白的例子解釋﹐請看下方的論理:

大學論

我們稱這個論理為「大學論」。

結論「立命館大學是一所日本大學」是個事實﹐因此是個真句﹐但大學論不是個有效論理。如果我們用「G」代表「哥廷根大學位於德國」﹑「D」代表「哥廷根大學是一所德國大學」﹑「R」代表「立命館大學是一所日本大學」﹐我們立刻便見到結論和前提之間完全沒有關連，雖然 G﹑D﹑R 都是真句:

一般化後有這個論理型﹕

論理型 [3號]﹕無效

「沒有關連」是指在形式上沒有關連。

我們現在應用的邏輯有時也籠統地稱作「形式邏輯」(formal logic)，因為這個邏輯關心的是形式。有效論理的首要條件是前提和結論有形式上的關連﹕結論起碼要出現在前提之中一次。「R」(論理型 [3號] 中的「r」) 顯然沒有在前提中出現過。如果這樣的論理可以成立﹐根據它的形式﹐我們根本無需引用「G⊃D」(論理型[3號]中的「p⊃q」) 的形式，乾脆提出「R」(論理型 [3號] 中的「r」或任一句子) 便算了。但雖然「R」碰巧是個真句 (事實上，「G⊃D」也碰巧是個真句)﹐我們不可以作出大學論那樣的推論。

結論的真假與論理的有效性完全沒有關係。

第二點，一個無效論理 (valid argument)﹐即使前提皆真﹐也不能保證結論為真。以下便是這樣的一個例子。我們稱它為「信仰論」。¹⁹

信仰論

約2,300年前﹐阿里士多德已經發現這個論理型是無效的。所謂無效是指形式上無效。信仰論中的兩個前提皆真﹐但結論明顯是假。有效的論理型就像個立方體模胚﹐成為一個製造立方體鑄件的標準。如果不用立方體模胚﹐便不會製造出特定的立方體鑄件。我們的信仰論就不是用「立方體」模胚鑄造出來的產品﹐因此不能作準。

一個無效論理﹐即使碰巧前提皆真﹐結論也可能是假的。

但切記，前提和結論皆真也不是論理有效性的保障。

大學論和信仰論呈現出一個有趣的案例: 在前提皆真的情況下，前者的結論真，後者的結論假。這說明真前提不是真結論的保證。邏輯的一個目的就是要清除偶然和巧合: 大學論中的真結論僅僅是一個偶然。

邏輯所要求的保證是形式上的保證。

所以﹐第三點，一個有效論理要求在前提皆真的情況下即保證結論為真。

論理的有效性間接保證結論的真實性。「間接」﹐因為要保證結論為真需要兩個條件:

• 一，論理有效 (形式上);
• 二，前提皆真。缺一不可。

一個有效論理在形式上作出保證: 如果前提皆真，結論必真。

一個有效論理對所輸入的前提真假不作保證。

當我們說愛麗絲的毒藥論無效﹐我們的意思是說﹐愛麗絲的毒藥論在形式上無效。但「無效」或「有效」就是形式特性 (formal properties)﹐所以「在形式上無效」便是冗贅。我們單用「無效」或「有效」就可以了。

當我們用「無效」或「有效」時﹐這兩個語詞的應用幅度維持在形式論述之內。

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¹⁹ 伊斯蘭稱其上帝為「阿拉」，基本意義還是一個創造世界萬物的神或上帝，因此只是用語的差別。

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