綁架愛麗絲之地下邏輯 016

2024/06/25 更新2023/08/23 發佈閱讀 6 分鐘

作者: 黃盛

1 Down the rabbit hole: 論理型

掉下兔子洞

十三

要做證明﹐我們還沒有足夠的工具。需要預先解決兩件事情才能對吃論[1]做個完整的證明。首先﹐我們要辨識吃論[1]中使用的所有的真值函應聯結詞 (truth-functional connectives); 次之﹐我們要學懂使用一些相關的推論規則 (rules of inference)。

首先﹐我們要找出吃論[1]中使用的真值函應聯結詞﹐因為命題邏輯就是真值函應聯結詞的邏輯。經過我們的整理﹐愛麗絲的吃論[1]有六個句子﹐全都是條件句﹐因此可以用條件句的邏輯符號來翻譯。

但第一個條件句卻是個包含「或者」(either/or) 的複合句。

我們知道﹐日常語言中的條件句聯結詞 (「如果 ... 那麼 ...」) 可以翻譯作命題邏輯中的條件句聯結詞 (「→」); 並且﹐我們有一個界定條件句聯結詞用法的真值表。

「或者」在命題邏輯中有沒有對應的聯結詞呢?

命題邏輯有好幾個像「→」那樣的邏輯聯結詞或邏輯運算符號﹐碰巧有一個析取號²⁰﹐寫作「∨」﹐用法與日常語言中的「或者」很相似。但析取號的用法有點微妙。

香港的很多茶餐廳早午晚都供應套餐或特價餐﹐餐牌最下一行通常寫著「咖啡或茶」﹐意思是吃了豬扒飯後﹐客人可以選擇一杯咖啡或者一杯奶茶; 茶餐廳老闆的意思是 —— 兩者擇其一﹐不能兩者都要。

按照茶餐廳老闆的這個用法，「或者」可以用以下的真值表表示或界定:

真值表[3]: 相斥析取 (exclusive disjunction)

「p ∨ q」是個相斥析取句式。「∨」稱為「析取號」。析取號是個二元真值函應聯結詞 (two-valued truth-functional connective)﹐因此有兩個論元:「p」和「q」。「p」和「q」稱為「∨」的「析取項」(disjuncts)。如果我們用上面真值表的定義來使用析取號﹐這個析取號表達的關係便稱為「相斥析取」(exclusive disjunction)。「相斥」(exclusive) 解作析取項相互排斥的意思。

現在讓我們了解一下相斥析取的真值表。首先﹐如果茶餐廳老闆說﹐雖然特價餐餐牌寫著「咖啡或茶」﹐但實際上沒有茶﹐也沒有咖啡﹐這個特價餐便顯然不是那麼特價了。所以﹐當兩個析取項皆假﹐析取句式為假 (真值表橫軸下的第四行: 0-0 -> 0)。

另一方面，如果顧客既選咖啡，也要奶茶，長此以往，茶餐廳的老闆蝕錢未必，但盈利肯定會減少。這盤生意便可能做不過了。對茶鎮廳老闆來說，讓顧客概取兩個析取項 (咖啡及奶茶) 不是老闆的意願。所以當兩個析取項皆真﹐析取句式同樣為假 (真值表橫軸下的第一行: 1-1 -> 0)。相斥析取句只在兩個情況下為真﹐就是當其中一個析取項為真﹐另一個析取項為假 (1-0 或 0-1)。

邏輯學家行文時﹐為了強調相斥析取的用法﹐通常會輔以「或者﹐但非二者兼有」(either/or, but not both); 譬如「咖啡或茶﹐但非二者兼有」。²¹

茶餐廳的外面是另一個世界。

很多西方國家都有以家庭團聚為由的移民選項，譬如美國容許美國公民的直系親屬移民。關於直系親屬的定義，有這樣的說明 (其中兩項):

凡美國公民的配偶或美國公民的父母均符合直系親屬的定義。

在流行「太空人」的年代，香港的這種情況不少: 林太太帶著孩子先移民美國，林先生留在香港工作。多年之後，孩子 (林一二) 成年了，開始工作了，林先生也差不多退休了，這時的林先生以直系親屬身份移民美國。

林先生一方面是美國公民 (林太太) 的配偶，另一方面是美國公民 (林一二) 的父親。如定義中的「或」作相斥析取詮釋 (1-1 -> 0)，林先生便不符合直系親屬的條件了，因為林先生既是美國公民的配偶亦是美國公民的父親。這顯然並不合理。這條規例的制定原意實在是要保障援引本規例的移民申請人有直系親屬在美，而該直系親屬同時是美國公民。林先生同時符合了定義的兩個析取項，應該是一個優勢，因此我們需要接受 1-1 -> 1 的情況。

有些國家的移民條例告訴我們﹐析取號有非茶餐廳式的用法。我們用以下的真值表來界定這種用法:

真值表[4]: 相容析取 (inclusive disjunction)

真值表[4]告訴我們﹐根據這個用法﹐當兩個析取項皆真時﹐析取句為真 (橫軸下的第一行: 1-1 -> 1)。這是相容析取與相斥析取的唯一分別。

換句話說﹐在日常語言中﹐析取有兩種﹐一為相斥析取﹐一為相容析取。一個析取句﹐在什麼時候表達一個相斥析取關係﹐在什麼時候表達一個相容析取關係﹐不是個邏輯問題﹐乃根據用例和發話者的意圖決定的。譬如「咖啡或茶」的相斥用法純粹來自茶餐廳業的慣例。如果有某位茶餐廳老闆推陳出新﹐決定「咖啡或茶」是一個相容析取關係﹐在邏輯上﹐當然絕對容許。

但有些情況卻不由用例或發話者的意圖所左右。請看下面的兩個句子:

Pt1: 屏東市的自來水可以飲用或不可飲用。
Pt2: 屏東市的自來水可以飲用或十日町市的自來水不可飲用。

Pt1 表達的肯定是個相斥析取關係﹐因為屏東市的自來水 (假設有統一水源) 不可能同時可以飲用及不可飲用。Pt2 表達的卻不一定是個相斥析取關係﹐「(臺灣) 屏東的自來水可供飲用」並沒有否定「(日本) 十日町市的自來水不可飲用」。要將 Pt1 從日常語言正確翻譯到命題語言﹐對日常語言的理解便要費一點心思。 Pt1 的「或」必須被翻譯做相斥析取號﹐而 Pt2 的「或」則必須翻譯做相容析取號。

由此可見﹐從日常語言翻譯到形式語言的準確性會影嚮邏輯分析的結果。

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²⁰ 英語通常寫作「disjunction」﹐有些人﹐如美國哲學家奎因 (W.V.O Quine)則喜歡用「alternation」一詞。「∨」這個符號最早由英國哲學家羅素 (Bertrand Russell) 和英國數學家懷特海 (Alfred North Whitehead) 率先使用。