所以槓桿ETF可以怎麼玩?

我是狂徒，很忙的狂徒。

出來混這麼久，我看過的國內創作者不少，有些還是我朋友。

不過找遍整個網路，談到「槓桿ETF報酬期望值」的人，除了我們之外，就只有PTT DAZE。

這不是第一次偶遇知音。

身為《穩定致富》的作者，我在書中評論Markowitz MVO缺高階矩，並將高階效率前緣圖像化。

而我也在網路上看到DAZE對於此性質的評論，自然十分認同。

幾經輾轉，我連絡上了DAZE，並討論了幾次關於LETF本身的特性，以及相關的延伸投資想法。
後來我認為此對話內容具有分享意義，他也同意公開。
所以，我把論點和開放式議題寫在下面，給各位朋友參考。
(資訊密度偏高，所以我盡量忠實呈現，僅修改少數文字標點。)

1. 關於LETF報酬分布「期望值」的投資意義為何?

狂徒:

定性而言，單一LETF的最終價格，會有個應用在波動率的懲罰項。
所以LETF的槓桿率會有基於期末價格的最佳值，而不是越高越好。

然而檢視報酬分布，期望值是隨槓桿率單調上升的。

目前的解釋是，單一LETF路徑，以及不同時間段的多LETF分布平均，有不同意義。

DAZE:

考量到utility function(效用函數)，如果只允許全押在單一資產上，隨著槓桿率提高，雖然期望值會增加，但正的結果會在越來越少的可能世界內實現，絕大部分可能世界內會實現負的結果。
(DAZE猜測，這個定性敘述不仰賴對特定分佈的假設。)
如果utility function不是太特別，通常投資人不會把所有身家壓在一個 「1%翻200倍，99%會-99%」的賭，雖然期望值/算術平均值是正的。

論文常用的CRRA utility function的優點是數學上比較容易操作，雖然不見得能代表所有人的utility function，但實用表現也還算可以。
如果想最大化中位數/幾何平均值(在lognormal中，這兩者會相等)，代表relative risk aversion 係數大約為 1.
關於一般人的RRA係數，根據估計方法與來源不同，常見的估計大概是2~4左右，即使是最大化幾何平均值的槓桿倍數，對一般人很可能太高了。

如果允許對多重資產分別下注，一期後的預期報酬率，會是所有資產的期望值按投資比重的算術加權平均。
而單一資產的幾何平均值，則不能直接被相加。

另外，如果只下注0.5%身家在一個1%翻200倍的賭注上，這也許是個好賭注，假設有足夠的信心確定賭注的機率分佈的話。

狂徒:

效用函數，並不適合當成投資(數學上)的解釋。
具體原因是，有部分投資人，本身願意忽略偏度而要求期望值，這是一種交換。
另外，聖彼得堡悖論中的效用函數，是一個歷史上「數學無能所以轉求心理解釋」的嘗試。
該悖論並不是悖論，數學上一局不該玩太多把的原因，單純是單局累積速度太慢，還不如累積每一局的見好就收。

相似的，考慮到資產價值提升速度，並類比於LETF的特性，投資人不該押期望值高的槓桿倍率。
只是兩者的類比有些牽強，還需要更合理的解釋，以及善用高期望值來獲利的投資方式。

考量到LogN中，中位數和幾何平均相等。(註: 皆為e^μ)
或許被求出的最佳槓桿率，實際上是中位數最大化的倍率。

DAZE:

效用函數是真實存在的，雖然不見得要是CRRA的形式。

也有一些paper在不假設特定效用函數的情況下，把投資者的風險偏好程度，表現為希望最大化第10百分位結果、最大化第25百分位結果、最大化中位數...等等。
這是很直覺的一種想法，但要最大化某個百分位數，數學上較不容易處理，數值方法下倒還好。

2. 關於LETF，定期 rebalancing 的部位，可以用 buy & hold 加上 options overlay 複製。

DAZE:

當槓桿小於1時，是 short call + short put
當槓桿大於1時，是 long call + long put

The Ex-Ante Rebalancing Premium

An Alternative Option to Portfolio Rebalancing

每日再平衡的TQQQ，可以用「3倍QQQ及負2倍現金」整體的buy & hold 加上 long call + long put 複製，在 no arbitrage 假設下，兩者會有相似的特性。

如果全盤使用B-S模型的假設，選擇權訂價是風險中立的。

TQQQ的期望值應該會跟3倍QQQ及負2倍現金 buy & hold 的期望值相等，從另一個角度得到LETF的期望值隨槓桿倍率線性增加。

如果拿掉常態分佈假設，但維持選擇權訂價是風險中立的假設，LETF的期望值應該仍然會跟 buy & hold 相等。

如果拿掉風險中立假設，也許，long options 會需要付出避險成本。

狂徒:

在特定條件下，這個合成做法和LETF具有等價性，事實上LETF本身就是重複再平衡。

而再平衡超額報酬那篇的含strangle組合價值公式，就和單LETF的最終預估價格一樣，只差一個槓桿倍率。

另外，關於BS假設的調整，考慮非normal，或許會造成討論困難。

因為paper中的表達和常見LETF價值的表達，都是基於常態分佈。

現在，非normal之下，兩者可以等價，但也可以不等價。

因為它的目標本來就是replicating，頂多沒有漂亮closed form

至於連風險中性都去掉，這應該就會讓LETF和合成策略完全脫鉤了。

畢竟衍生品和underlying都連不起來，遑論用這兩者的組合來複製LETF.

LETF是路徑相關，options(香草)是路徑獨立，而dynamic hedging讓它路徑相關(Taleb也說過)。

但考慮時間離散的話，例如季/月平衡而不是日平衡，兩者差異會被顯現和放大。

另外，long TQQQ+long SQQQ，類似於short volatility, also short gamma.

但考量時間性，這和options的關聯性暫時又斷了。

DAZE:

去掉風險中性的部分，是一個猜測，目前沒有數學上的根據。

另外options overlay的主要優勢，就是可以把路經相關的部分包在options中，暫時避免掉一些問題，也可以比較直觀的定性描述。

3. LETF和自行採用options組合單的優劣。

DAZE:

根據觀察，「3倍QQQ及負2倍現金」的buy & hold，原本具有一個很危險的分佈。

因為在不考慮 margin call 下，報酬最多可以負2倍。

透過 long put，投資人可以把左側的分佈，替換成一個不會變成負的分佈。

因此在這一點上，TQQQ的分佈相對安全。

然而，這裡投資人要考慮的是，是否需要long call的部分。

3倍QQQ及負2倍現金的右側tail不夠長，是否需要透過long call再拉長一點。

如果答案是否，也許 long NQ + long put 是個比 TQQQ 更好的解答。

(註: NQ是NASDAQ期貨。)

狂徒:

按照上述paper所言，用衍生品來復現LETF，理論上兩者不應該有差別。

這麼做的三個優點，分別為可善用GARCH等工具一定程度的預測波動率、靜態策略可以避免再平衡造成市場擾動、能夠隨投資者需求自由調整參數以企圖從動量獲利。

不過，使用手動的long put/call並不會優化投資策略。

原因是如果衍生品已經被priced in，那任何操作都是白費。

只能說對投資人的風險交換手段而言，相當於停損停利。

換句話說，除非有套利空間，不然兩個理論上表現一樣的策略，實際上也並沒有差異。

當然若設定另一種投資策略，用衍生品來修剪風險分佈，那麼這是投資哲學的問題。

DAZE:

此策略正是指用衍生品來修剪分佈。

如果不考慮交易成本，在風險中立假設下，用衍生品修剪分佈並不改變期望值。

目前的問題是，如果可以修剪分佈的話，應該剪成什麼樣?

(DAZE認為，這屬於個人喜好問題，暫時的想法是只剪左側不剪右側。)

4. 持有小資金比例的LETF，有沒有投資優勢?

狂徒:

和再平衡相關的，隨機投資組合理論中，描述當沒有任何一資產主導投資組合時，不斷的等權分配，長期能打敗自然加權。

一個類似的概念是波動率收割，在資產價格走勢不明顯時，不斷和現金再平衡，可以得到超額報酬。

而對於LETF來說，有一個討論是「50%倉位的2倍LETF和現金再平衡」VS.「50%倉位的2倍LETF和現金不再平衡」VS.「100%倉位的1倍LETF」

目前還未有解析解，而相關文獻也只有關於「布朗橋」的嘗試。

DAZE:

針對「50%倉位的2倍LETF和現金不再平衡」VS 「100%倉位的1倍LETF」，可以從 options overlay 的觀點檢視。

SSO + (SPY options ex-ante premium) = 200% SPY - 100% Cash + (SPY calls & puts)

⇒

50% SSO + 50% (SPY options ex-ante premium) = 100% SPY - 50% Cash + 50% (SPY calls & puts)

⇒

50% SSO + 50% (SPY options ex-ante premium) + 50% Cash - 50% (SPY calls & puts) = 100% SPY

此處需考量賣options有沒有超額報酬的問題。

至於「50%倉位的2倍LETF和現金再平衡」VS.「50%倉位的2倍LETF和現金不再平衡」，也可以改寫。

50% SSO + 50% Cash + (SSO options ex-ante premium) - (SSO calls & puts ) = (50% SSO + 50% Cash) with rebalance

這裡的一個問題，SSO的選擇權應該如何訂價。(註: 確實有定價公式，只是較複雜，我放在文末。)

在風險中立假設下，都沒有超額報酬。

但如果投資人確信市場猜錯了，未來實現的波動率會顯著低於當前的隱含波動率，那賣選擇權就有利可圖。

5. 資產和其LETF報酬分佈的高階矩。

狂徒:

在槓桿ETF的蒙地卡羅模擬-Laplace distribution (Leveraged Monte Carlo)中，用Laplace來fit是為了處理尾部。

而關於尾部的更高階矩，有兩個基於應用的思考方向。

首先，LETF最常見的underlying是股市，本身具有不可忽略的skew/kurt，但市面上的近似公式，都直接用前二階矩來描述資產本身。

因此，應該要有更合理的模型。

另外，隨機微積分中，用幾何布朗運動(GBM)來把資產走勢建模，本身就假設二階變差有界(bounded quadratic variation)，但若是更高階的變差有界，則新的表達式也該出現。

目前的了解是，這和Hurst index有些關係。

DAZE:

連加或連乘在數學上都比較好處理，當同時需要又加又乘時，困難度就大幅提升。

資產配置問題就是一個又加又乘的問題，而LETF是個單一風險資產+現金的特例。

常態分佈有一些很好的特性，讓它在數學上相對好處理，也可以從中得到一些closed form的解。

但真實的分佈不見得會具有這些很好的特性，closed form的解可能根本不存在，而適當選擇樣本空間的蒙地卡羅方法可以部份處理這個問題。

選用特定分佈生成樣本，以及用歷史報酬率或是調整過的歷史報酬率作為抽樣來源，分別可以處理一部分的問題，但也有各自的不足。

因此若都拿來跑看看，可以部份的達到互補的效果。

也許存在某個特定分佈非常接近真實的分佈，而且有一個巧妙的解，只是目前解不出來而已。

6. 時序動量和Hurst index

狂徒:

時序動量和Hurst有關聯，事實上股市有一定程度自相關(即非Markov).

然而由於沒有比較完整的建模方式，可以描述融入時序分析的價格動態，目前只回測過月度動量的槓桿化。

DAZE:

將一些autocorrelation加入蒙地卡羅的資料生成後，並沒有什麼特別的結論。

一個可能是，常用的槓桿率在150%以下，偏離常態分佈的問題並不明顯。

綜合這些資訊，我們認為LETF和期權有一定程度的可交換性，同時要取得怎樣的風險和報酬分佈，端看投資工具和投資人的理念。

一般投資人和網路創作者，想了解LETF的預期報酬，需跨過一定的知識門檻，若想描述細緻的風險，難度又往上提了一階。

事實上，這也造成坊間絕大部分的LETF內容都在講回測和性質，而簡潔的表達式卻多半出現在專業文章中。

投資是自己的事情，當妳知道自己有什麼工具、可以怎樣投資，才能增加在市場上的生存機率。

註: LETF的選擇權定價，我以Heston為例，至於跳躍非重點，有空我再寫。

其中Re是實部
改寫特徵方程式ψ

此處β只是計算過程中使用的代號，和下方β不同。

注意此處β為槓桿倍率。

如果想查看完整公式(未經化簡)，我也寫出來了。

(下載圖片才能看清楚。)

參考:

槓桿ETF的報酬和風險

Heston, S. L., “A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options”, The Review of Financial Studies (1993)