我是狂徒，大家好。
本文有五個部分:
1. 為什麼LETF常變成吵架題目?2. LETF和數學
3. The math guy 小蔡
4. 未解之謎
5. 小組招募
槓桿ETF(LETF)一直是投資人喜歡討論的題目，偏偏涉及的數學又有一定門檻，所以常常讓大家霧裡看花。
我在這篇文章中，不會介紹什麼理論，沒有要討論LETF好不好，也不說明LETF和指數投資的關係。
我要解釋的是投資人對於LETF的看法，以及其中的數學「概念」。
我先說，我和理財館長寫的《穩定致富》，其中4-7就是在講槓桿，而LETF也在裡面。
雖然我們對於LETF有一定程度的看法分歧，但至少都在自身的知識範圍內盡量解釋，也避開不確定的區塊，維持內容的正確性。
所以如果妳真的好奇我們對LETF的看法，也可以加入各自的社群討論。
BTW 我的LETF社群:
現在問題來了，雖然我們對LETF持開放心態(至少不是全然反對)，但社群中一定會有其它聲音。
這造成的後續紛爭，就是我寫本篇文章的動機之一。
有建設性的討論，是針對問題點，提出贊同/反對，以及背後原因。
癥結點有時候可能是語意問題，有時候是模糊地帶，有的時候則有明顯對錯。
無論如何，這種討論模式都能節省彼此時間。
無建設性的討論，就是避開問題點，並提出新的批評。
這會造成一大堆沒有結論的垃圾資訊，模糊原本的焦點，浪費時間。
舉個例子，我們在談LETF的「價格變化機制」，妳卻跟我說費率、購買資格、心理因素......就是在提供一些或許正確、但當下沒實際意義的資訊。
這就像我要去換機車的煞車皮，結果老闆不理我，反而說想拆我的坐墊。
是，可能我真的需要換坐墊，但我不能先針對煞車皮討論嗎?
浪費時間的對話還有進階版，就是「不懂裝懂」。
無論有意無意，當妳的發言超出自己的知識範圍時，就是在依靠幻覺對話。
如果妳像我一樣，不會管對方死活、不怕被嘲笑，只想吸收對自己有利的知識，那不會有什麼損失。
可是如果妳以為對方跟妳知識相當，想要花時間討論時，就會發現自己正在對牛彈琴。
所以，除非妳自詡為老師，想把對方教到會，否則當遇到某些部分比妳弱又自以為是的人時，妳不用執著於完成那些討論。
你可以找出對方的研究優勢，當作自身的靈感，順便自我糾錯。
你也可以乾脆結束對話，節省時間。
言歸正傳，LETF最讓人不懂的，並不是它本身的商品規格或槓桿成本(雖然這些也難懂)，而是價格波動機制，這就牽涉到不同數學領域。
我依據難度，將LETF的數學分成5個等級。
Level 1
LETF的長期報酬，不一定會剛好等於它的日報酬倍率。
換句話說，兩倍ETF的長期報酬，很可能不是一倍ETF的剛好兩倍。
這是屬於坊間作者最愛提的，我不贅述。
(如果你不知道這個特性，投資會很危險。)
Level 2
知道利用報酬和波動率，幫單資產LETF價格機制建模，同時算出最佳定槓桿率。
最簡單的方法就是只使用預期報酬和波動標準差，得出近似數值。
Level 3
拓展單資產的結論到「多資產配置」，分別算出LETF組合的報酬和波動率，以及此狀況下的資產比重和各自槓桿倍率，這會用到線性代數。
Level 4
討論「最佳槓桿率」的由來，實用工具包括隨機微積分和有界變分。
Level 5
針對非常態分佈、非標準半鞅、有三階以上矩、非Markov、非對稱波動(AVP)...等資產特性和市場現象，修正模型。
「狂徒，這聽起來有點複雜，我需要知道嗎?」
這麼說好了，飛彈試射成功，不能只靠數學，但沒有數學就很難成功。
足球員如果只會跑步，很難贏得比賽，可是如果他連跑步都不會，就準備輸了。
想了解LETF，確實需要一些數學。
雖然「僅靠數學無法全盤看懂LETF」，但是妳不能推論出「LETF的數學無用」。
終極來說，你當然可以把LETF當賭博工具，運氣好就會賺錢。
可是如果知道背後原理，我認為妳會更有執行投資策略的信心。
近期我跟小蔡(Mr. Jin，創作者)頻繁通話，我說我沒時間管社群，就自己看資料，他說他也是。
關於LETF的討論，Jin和我都經歷過無建設性的批評，也就是我說A，別人說B，而不是指出我A的瑕疵。
因為事實上，不論A或B，只要我們說得深入了，反對方就無法招架了。
這種討論簡稱「浪費時間」，所以我能做的，就是尋找自己沒想到的點，然後另外研究。
無效的討論再華麗，也只能讓不知情的旁觀者覺得很精彩，完全無法解決問題。
而從我的觀點，不想要深入了解卻只喜歡批評的人，大部分是因為懶惰。
數學在投資中並不罕見，但真正了解的人就是比較少。
一個商科的學生會聽到的「效率前緣」，就涉及偏微分、最優畫、矩陣運算...
試問，商科朋友有多大比例知道這個東西的來龍去脈?
(事實上我還沒遇過第二個作者和我聊過這個core，但既然網路上一堆資料，代表他們不出聲罷了。)
再來，數學淺一些的線性回歸，像是因子投資core，有誰能談?
我知道的有石川/遠的要命/Frank等人，這根本不成比例的少。
還有個好笑的例子。
a. 幾乎每個passive都知道再平衡。
b. 這玩意可以被寫成一整本教科書。
c. 然後有人不懂，卻覺得這很簡單。
以上，都是有一群人懂的知名領域，然後偏偏一堆人不願意花時間研究，所以兩個群體間就會有知識斷層。
當你每天吃paper，自然就會逐漸跟上二手資訊，而不是兩百手資訊，也就能構建自己的知識體系。
(當然，這裡是自己認真看paper，不是為了表現自己很屌，所以宣稱愛看。)
妳會習慣抓出一段話對自己有幫助的點，也能快速知道對方的強弱處。
知道自己的知識邊界，並判斷眼前話題是不是在守備範圍內，可以節省很多時間
如果你實在不懂也不想懂，那最簡單的方式就是不要碰類相關產品和話題。
好了，我說點好玩的。
「肥尾」，LETF最怕的鬼。
傳統金融用隨機過程幫資產走勢建模，例如常見的幾何布朗運動。
然而應用層面(槓桿ETF資產配置)對於肥尾的處理，可能需要三階以上動差。
我跟小蔡本來猜最適槓桿率是μ-½σ²+1/6 skew³，但我後來認為也有可能是μ-½σ²+1/12 skew³。
這涉及泛涵，他暫時撤退，我繼續研究。
用二階變分有界推導出的公式，採用了報酬期望值和波動標準差，這是我們已知的。
現在，如果資產走勢是三階變分有界(而不是整個金融圈在用的二階變分有界)，那新版的隨機微積分、布朗運動，以及之後的含前三階動差的最適槓桿率，要怎麼寫?
假設走勢呈強三階變分有界(strong cubic finite variation)，並把隨機微積分退化成常微分方程，或許我們便可以將偏度也考慮進去。
核心難點在於，對黎曼積分無用武之地的泛函求導，泰勒展開的係數需要變動，三階項(非常)可能不是簡單的1/6.
有一個策略是用「離散」的近似來取代隨機微積分，另一個方法是修改Fokker Planck的隨機擾動項。
而依照我的了解，更華麗的修正版本，包含Hurst指數的分型布朗運動(fBM)。
如果標準布朗運動被fBM取代，即捨棄馬可夫性質和對於半鞅的假設，這時Hurst指數就能介入。
另外，請記住一句話。
Who's your daddy?
不管是正二教還是1.0000倍基本教義派，都很容易敗給自己的嚴苛。
以報酬的角度，妳怎麼知道自己持有的槓桿倍率剛好是最優解?
LETF的投資人，本來就是配製出一個大致的槓桿率，根本不需要也沒辦法壓在最佳槓桿率上。
所以宣稱一倍最好或兩倍「最好」的人，要不是沒睡醒，不然就是裝睡。
很多道理，用數學表明即可，不需要長篇大論。
我畫了一張圖，曲面是用前二階動差畫出的最佳槓桿倍率，而黃色平面是投資人指定的倍率。
交界的曲線沒有面積，所以無論是什麼槓桿倍率，都幾乎不可能剛好是最佳解。
換句話說，不管妳是一倍、兩倍還是三倍槓桿的基本教義派，都是在作繭自縛。
把槓桿定值放寬到一個區間，我們可以對曲面面積定積分，這相當於預估報酬、波動率和槓桿率的集合。
如圖所示，高槓桿率曲面較陡，容錯率也小。
而當槓桿倍率較低時，報酬和波動和槓桿倍率本身的容許性增加，其中波動度的許可範圍增加最快。
如果妳看到這裡，覺得學到新東西或想到新的批評，歡迎隨時告知。
如果妳覺得找到同好了，請看下一段。
我最近和Jin討論LETF和資產配置的計算，也有些好玩的想法。
目前主題是股債槓桿的資產配置比例調整，而研究工具包括動量、時序、因子等分析。
由於LETF的相關計算量較大但並不難，我們想要尋找有共同目標的朋友分工，於是設計了一份問卷，用來「限額招募」小組成員。
https://forms.gle/ki6M55mJfPqhiduZ7
放心，這不是什麼考試，我都把可能用的公式也丟上去了，我們單純想了解有興趣者的思路和興趣。
精力有限，我們不可能找很多人，但是會盡可能多方評估。
另外Jin說了，如果有人進了小組後對槓桿知識不了解，他願意親自協助教學。
這傢伙是充滿愛心 :)
