七、度量張量
前面幾篇一直反覆提到，奠定幾何磐石的畢氏定理：
x² + y² = r²可以轉換為畢氏定理的向量表達：
x x̂ + y ŷ = r r̂
其中，x 是直角三角形的底邊的長，y 是對邊的長，r 是斜邊的長；x̂ 是 x 座標軸上的單位向量，ŷ 是 y 座標軸上的單位向量，單位座標向量 x̂、和 ŷ 互相垂直；而 r̂ 則是單位對角向量。
文字敘述，即是：
從底邊 x 和斜邊 r 的交點為原點出發、沿著 x 方向移動，至終點，再以此端點為起點、沿著 y 方向移動，而至終點；前述的移動、相當於：由原來的原點出發、沿著 r 方向移動，而至終點。
至於任意三角形，其向量的表達、則為：
A⃗ + B⃗ = C⃗
其分量的形式、為：
(A₁ x̂ + A₂ ŷ) + (B₁ x̂ + B₂ ŷ) = (C₁ x̂ + C₂ ŷ)
綜而言之，任意三角形的向量表達、仍不脫畢氏定理的向量表達。
此即：
(A₁ + B₁) x̂ + (A₂ + B₂) ŷ = C r̂
以上，是前面幾篇的梗概。
現在，假設仍在同樣的歐式平面 (Euclidean plane)，但我們想要從三角形本身的邊緣、來看待這件事情，因而，我們將前述的向量表達、轉換為：
A â + B b̂ = C ĉ
其中，A 是任意三角形的底邊的長，B 是對邊的長，C 是斜邊的長；â 是沿著底邊 A 方向的單位向量，b̂ 沿著對邊 B 方向的單位向量，它們無須互相垂直。
文字敘述，即是：
從底邊 A 和斜邊 C 的交點為原點出發、沿著 A 方向移動，至終點，再以此端點為起點、沿著 B 方向移動，而至終點；前述的移動、相當於：由原來的原點出發、沿著 C 方向移動，而至終點。
若向量 â、和 b̂ 是正交的，亦即，它們互相垂直，那麼，前述的向量表達的轉換、即還原為傳統的畢氏定理之表述：
「直角三角形，其兩邊的平方之和、等於斜邊的平方。」
此即：
C² = (C ĉ) · (C ĉ)
= (A â + B b̂) · (A â + B b̂)
= AA â·â + AB â·b̂ + BA b̂·â+ BB b̂·b̂
= AA 1 + AB 0 + BA 0 + BB 1
= A² + B²
若不滿足正交的要求，其一般式為：
C² = ∑∑ Xᵐ Xⁿ x̂ₘ·x̂ₙ
相當於餘弦定理。
在更為一般的情況，亦即，不但上述正交的要求不能滿足，而且座標還是曲線座標 (curvilinear coordinates)，看起來，畢氏定理似乎快要崩解了，因為，此時，三角形的三個邊所經過的每一個平面位置之點，上面的座標都不是恆定的，所以，行進的路程、不能簡單地用單位向量乘以一個數值、而得到。
要怎麼辦呢？我們必須重新設想，而用位置向量的微小變動 dR⃗、來替代原來的整體的乘積。
現在，令位置向量的微小變動 dR⃗ 沿著斜邊 C 前進，g⃗₁ 是其沿著底邊 A 方向的偏導數向量，g⃗₂ 是其沿著對邊 B 方向的偏導數向量，它們都不一定是單位向量。
其一般化的形式、則為：
dC² = (dC dr̂) · (dC dr̂)
= (dA g⃗₁ + dB g⃗₂) · (dA g⃗₁ + dB g⃗₂)
= dA dA g⃗₁·g⃗₁ + dA dB g⃗₁·g⃗₂ + dB dA g⃗₂·g⃗₁ + dB dB g⃗₂·g⃗₂
= dXᵐ dXⁿ g⃗ₘ·g⃗ₙ
= dXᵐ dXⁿ gₘₙ
式中，我們用 dX¹ 置換 dA，用 dX² 置換 dB，置換的目的，是為了使數字上下對應、以便於求和之用，而式中的 m、n，稱為權借指標 (dummy index)，經歷了數字 1、2，也只是一種簡便的書寫形式，代表，上下一樣的指標、必須遍歷數字而求和。這些，都是屬於符號的使用之問題。
就實質而言，式中的 dX¹，是位置向量的微小變動 dR⃗、沿著偏導數向量 g⃗₁ 方向的分量，而 dX²，則是位置向量的微小變動 dR⃗、沿著偏導數向量 g⃗₂ 方向的分量；gₘₙ 稱為度量張量 (metric tensor)，可以視之為遍歷數字而求和，亦可視之為矩陣，該矩陣之內容、乃是偏導數向量的內積值 g⃗ₘ·g⃗ₙ。
上式、事實上是由位置向量的微小變動 dR⃗、和其自身的內積，自乘而求得。
此即，由：
(dR⃗) · (dR⃗)
= (dR⃗₁ + dR⃗₂) · (dR⃗₁ + dR⃗₂)
= (∂R⃗/∂X¹ dX¹ + ∂R⃗/∂X² dX²) · (∂R⃗/∂X¹ dX¹+ ∂R⃗/∂X² dX²)
而求得。
其中：
∂R⃗/∂X¹ = g⃗₁
∂R⃗/∂X² = g⃗₂
