尋犀記 (4)
四、向量 (畢氏定理的推廣)
「直角三角形，其兩邊的平方之和、等於斜邊的平方。」
這就是著名的畢氏定理，可以表示為：
x² + y² = r²
其中，x 是直角三角形的底邊的長，y 是對邊的長，r 是斜邊的長。
上式、又可以轉換為畢氏定理的向量表達：
x x̂ + y ŷ = r r̂
其中，x̂ 是 x 座標軸上的向量，ŷ 是 y 座標軸上的向量；x̂ 和 ŷ 互相垂直。
文字敘述，即是：
從底邊 x 和斜邊 r 的交點為原點出發、沿著 x 方向移動，至終點，再以此端點為起點、沿著 y 方向移動，而至終點；前述的移動、相當於：由原來的原點出發、沿著 r 方向移動，而至終點。
將等號兩邊同除 r，即有：
(x/r) x̂ + (y/r) ŷ = (r/r) r̂
此即：
cos θ x̂ + sin θ ŷ = 1 r̂
故知：r̂ 是單位圓周上的半徑向量，長度為 1；x̂ 是 x 座標軸上的向量，長度為 1，ŷ 是 y 座標軸上的向量，長度為 1。
以上述基底向量之概念為基礎，可以將畢氏定理的向量表達、推廣至任意三角形。
因為，任意三角形、皆可表示為：
A⃗ + B⃗ = C⃗
其分量的形式、為：
(A₁ x̂ + A₂ ŷ) + (B₁ x̂ + B₂ ŷ) = (C₁ x̂ + C₂ ŷ)
綜而言之，任意三角形的向量加減、仍脫離不出畢氏定理的向量表達，
此即：
(A₁ + B₁) x̂ + (A₂ + B₂) ŷ = C r̂
讓我們先複習一下內積：
內積的運算、之所以定義為：
(a, b)·(c, d) = a c + b d
應該是來自於 x、y 軸上單位向量 i⃗、j⃗ 相乘的想法，視之為類似於做功的概念，並將垂直方向的做功、定義為 0，水平方向的做功、定義為 1，而不區分同向、或逆向，
此即：
i⃗·j⃗ = j⃗·i⃗ = 0
i⃗·i⃗ = j⃗·j⃗ = 1
依此，便有：
(a, b) = a i⃗ + b j⃗
(c, d) = c i⃗ + d j⃗
再定義：兩個向量的內積運算、亦適用分配律；如此，則有：
(a, b)·(c, d) = ac i⃗·i⃗ + ad i⃗·j⃗ + bc j⃗·i⃗ + bd j⃗·j⃗
= ac 1 + ad 0 + bc 0 + bd 1
= a c + b d
但因為，除了做功的概念之外，兩向量的內積運算、還要符合分配律的原則，這樣的規定、事實上是一種人為的擬制，所以，我們應將内積運算的內容、視為是定義，而非上溯至座標軸上單位向量的相乘，視之為定義，從而，再將內積的運算、視為是其所推導出來的定理。
接下來，為了將單位向量的相乘、推廣至三維空間，我們定義：
i⃗·j⃗ = j⃗·i⃗ = 0
j⃗·k⃗ = k⃗·j⃗ = 0
k⃗·i⃗ = i⃗·k⃗ = 0
i⃗·i⃗ = j⃗·j⃗ = k⃗·k⃗ = 1
依此，便有：
(a, b, c) = a i⃗ + b j⃗ + c k⃗
(d, e, f) = d i⃗+ e j⃗ + f k⃗
兩向量的內積、是為：
(a, b, c)·(d, e, f)
= (ad i⃗·i⃗ + ae i⃗·j⃗ + af i⃗·k⃗) + (bd j⃗·i⃗ + be j⃗·j⃗ + bf j⃗·k⃗) + (cd k⃗·i⃗ + ce k⃗·j⃗ + cf k⃗·k⃗)
= (ad 1 + ae 0 + af 0) + (bd 0 + be 1 + bf 0) + (cd 0 + ce 0 + cf 1)
= a d + b e + c f
(a, b, c)、和 (d, e, f) 的數值是任意的，並不一定要符合單位向量的分量之要求。
現在，令 (α₁, α₂, α₃)、和 (β₁, β₂, β₃) 為單位球上的向量 A⃗ / ∥A⃗∥、和 B⃗ / ∥B⃗∥ 之座標。
其中，∥A⃗∥、和 ∥B⃗∥ 分別是兩個向量的長度，ζ 為夾角；我們知道，向量、除以自身的長度，可以確保：單位向量的量、會等於 1。
然而，又如何、而能夠確保 α₁ β₁ + α₂ β₂ + α₃ β₃ = cos ζ 呢？
要知道，此時，餘弦函數的Ptolemy 恆等式 (Ptolemy’s identity)：
cos (θ - η) = cos θ cos η + sin θ sin η
並不適用於三維空間。
為解決此問題，首先，我們須將向量 B⃗ 置於 x 軸；如此，則有：
B⃗ = ∥B⃗∥ i⃗ + 0 j⃗ + 0 k⃗
再將向量 A⃗ 置於 x y 平面上，而成為：
A⃗ = ∥A⃗∥ cos ζ i⃗ + ∥A⃗∥ sin ζ j⃗ + 0 k⃗
如此，二者的內積、即為：
A⃗·B⃗ = (∥A⃗∥ cos ζ, ∥A⃗∥ sin ζ, 0)·(∥B⃗∥, 0, 0)
= ∥A⃗∥ cos ζ ∥B⃗∥ + 0 + 0
= ∥A⃗∥ ∥B⃗∥ cos ζ
此結果、乃獨立於三維的座標空間，亦即，無論將其如何平移、旋轉、都不會改變它的性質。
這樣，就證明了：
(α₁, α₂, α₃)·(β₁, β₂, β₃) = (A⃗ / ∥A⃗∥)·(B⃗ / ∥B⃗∥) = cos ζ
另外的證法、則需要運用到餘弦定理，所幸，因為餘弦定理的證明、僅與三個點所構成的三角形平面有關，而不涉及外部的座標位置，所以，可以拿它來當作證明的輔助工具，沒有問題。
依餘弦定理、有：
∥A⃗ - B⃗∥² = ∥A⃗∥² + ∥B⃗∥² - 2 ∥A⃗∥ ∥B⃗∥ cos ζ
其中，∥A⃗ - B⃗∥ = ∥C⃗¬∥ 為斜邊的長，向量 C⃗¬ 為斜邊向量 C⃗ 的映射，ζ 為底邊向量 A⃗、與對邊向量 B⃗ 的夾角。
由向量 (A⃗ - B⃗) 與自己的內積，可以得到：
(A⃗ - B⃗)·(A⃗ - B⃗) = A⃗·A⃗ + B⃗·B⃗ - 2 A⃗·B⃗
既然，向量的長度平方、會等於、其與自身的內積，
此即：
∥A⃗∥² = A⃗·A⃗
∥B⃗∥² = B⃗·B⃗
∥A⃗ - B⃗∥² = (A⃗ - B⃗)·(A⃗ - B⃗)
= A⃗·A⃗ + B⃗·B⃗ - 2 A⃗·B⃗
= ∥A⃗∥² + ∥B⃗∥² - 2 ∥A⃗∥ ∥B⃗∥ cos ζ
消去相同的項，就有：
A⃗·B⃗ = ∥A⃗∥ ∥B⃗∥ cos ζ
這就證明了：
(α₁, α₂, α₃)·(β₁, β₂, β₃) = (A⃗ / ∥A⃗∥)·(B⃗ / ∥B⃗∥) = cos ζ
此處、運用到餘弦的性質，而一般的教科書、卻將上式、當作是內積的「定義」，殊不知，此「定義」已經先設地蘊含 cos 法則在內。
此意謂，若非溯源、而回到餘弦的性質，則無法解釋，這樣的「定義」何以能夠成立。
所以，前式不宜稱為「定義」，而應該稱為定理，比較恰當。
而只有內積的運算，方堪稱為是定義。
1843 年10 月16 日，一個風光明媚的星期一，William Rowan Hamilton 偕同妻子Helen Maria Bayly 沿著Dublin 皇家運河的沿岸散步，正當他們走上橫跨運河的Brougham 橋時，Hamilton 忽然靈光一閃，久久的困惑、頓時茅塞頓開，在這個重要的啟示時刻，他意識到，如果他使用一種不尋常的乘法運算，那麼，他就會得到他想要的一切。
在他發明的新的數字系統中，每個數、都有四個組成部分，他將它們命名為「四元數」(quaternions)。
但四元數的系統、卻在1880 年代中期以後、逐漸被向量分析所取代。
向量分析 (vector analysis) 是為Josiah Willard Gibbs、Oliver Heaviside、和Hermann von Helmholtz 等人開發的新的數學工具，它描述了與四元數相同的對象，並大量地借用了四元數相關的想法和術語；向量分析在概念的理解上更為簡單，在符號的使用上更為清晰，因而，四元數終在數學、物理學擔任了次要的角色，然而，在控制理論、訊號控制等領域， 四元數仍然被持續地使用著。
