尋犀記 (8)

八、Christoffel 符號

在二維的歐式平面 (Euclidean plane) 上，沿著曲線座標 (curvilinear coordinates) 之方向，有二個基底向量 (basis vectors) g⃗₁、和 g⃗₂，它們構成了微小的曲面塊 (surface patch)，而度量張量 (metric tensor) 正是衡量這些曲面塊、如何因沿著某條路線行進而改變的工具。

基底向量沿著曲面座標之方向的微小改變，可以表示為：

∂/∂X¹ g⃗₁ = Γ¹₁₁ g⃗₁ + Γ²₁₁ g⃗₂

∂/∂X² g⃗₁ = Γ¹₁₂ g⃗₁ + Γ²₁₂ g⃗₂

∂/∂X¹ g⃗₂ = Γ¹₂₁ g⃗₁ + Γ²₂₁ g⃗₂

∂/∂X² g⃗₂ = Γ¹₂₂ g⃗₁ + Γ²₂₂ g⃗₂

這四個式子、可以匯整為一個：

∂/∂Xᵏ g⃗ₘ = Γˡₘₖ g⃗ₗ

其中，Γ 稱為 Christoffel 符號 (Christoffel symbol)，乃分別是二個基底向量的係數，用以衡量前述、基底向量的微小改變之程度；而式中的 l，稱為權借指標 (dummy index)，經歷了數字 1、2，也只是一種簡便的書寫形式，代表，上下一樣的指標、必須遍歷數字而求和。這些，都是屬於符號的使用之問題。

度量張量 (metric tensor) 沿著曲面座標之方向的微小改變、則為：

∂/∂Xᵏ gₘₙ = ∂/∂Xᵏ (g⃗ₘ·g⃗ₙ)

= (∂/∂Xᵏ g⃗ₘ)·g⃗ₙ + g⃗ₘ·(∂/∂Xᵏ g⃗ₙ)

= (Γˡₘₖ g⃗ₗ)·g⃗ₙ + g⃗ₘ·(Γˡₙₖ g⃗ₗ)

= Γˡₘₖ (g⃗ₗ·g⃗ₙ) + Γˡₙₖ (g⃗ₘ·g⃗ₗ)

= Γˡₘₖ (gₗₙ) + Γˡₙₖ (gₘₗ)

= gₗₙ Γˡₘₖ + gₘₗ Γˡₙₖ

= Γₙₘₖ + Γₘₙₖ

同理：

∂/∂Xᵐ gₙₖ = Γₖₙₘ + Γₙₖₘ

∂/∂Xⁿ gₖₘ = Γₘₖₙ + Γₖₘₙ

將第一式減掉第二、三式，再消掉等號右邊因左右對稱而相同的項，我們得到：

∂/∂Xᵏ gₘₙ - ∂/∂Xᵐ gₙₖ - ∂/∂Xⁿ gₖₘ

= - Γₖₙₘ - Γₖₘₙ

= -2 Γₖₘₙ

所以:

Γₖₘₙ = (1/2) (∂/∂Xᵐ gₙₖ + ∂/∂Xⁿ gₖₘ - ∂/∂Xᵏ gₘₙ)

這代表：

(1/2) (∂/∂Xᵐ gₙₖ + ∂/∂Xⁿ gₖₘ - ∂/∂Xᵏ gₘₙ)

= Γₖₘₙ

= gₗₖ Γˡₘₙ

援用上面的結果，以 gₗₖ 的逆變基底張量 gˡᵏ 乘之，可以得到單位矩陣；而所剩下的 Γˡₘₙ、則可以表示為：

Γˡₘₙ

= (gˡᵏ gₗₖ) Γˡₘₙ

= gˡᵏ (gₗₖ Γˡₘₙ)

= gˡᵏ [Γₖₘₙ]

= gˡᵏ [(1/2) (∂/∂Xᵐ gₙₖ + ∂/∂Xⁿ gₖₘ - ∂/∂Xᵏ gₘₙ)]

= (1/2) gˡᵏ (∂/∂Xᵐ gₙₖ + ∂/∂Xⁿ gₖₘ - ∂/∂Xᵏ gₘₙ)

這就是 Christoffel 符號蘊含的內容。

廣義相對論 (general relativity) 將Newton 的萬有引力理論描述為時空的曲率 (curvature)，換言之，它用時空的彎曲程度、來解釋萬有引力，而把引力、與時空的幾何形狀聯繫起來；於此，Christoffel 符號則提供了如何量化、和測度時空曲率的方法。

回到理論的原創初期，當Einstein 試圖將加速質量納入他的理論時，他意識到，具有質量的物質似乎能以某種方式、影響其周圍的時空維度，使得該物質看起來好像可以拉動鄰近的物體，效果猶如：以質量壓彎它所在的時空結構、造成由許多條凹陷的曲線所表示的塌陷、從而導致其鄰近的物體向它滑動。

Einstein 的廣義相對論是一個大膽的想法，不但時空的維度脫離了傳統的歐幾里德之三維平坦維度，而且，時空的度量關係之本身、亦成為了動力學的對象。

正當其他物理理論、以方程式描述物理現象、是如何在一個恆定且不變的時空框架內、依據某某法則變化時，廣義相對論則描述了時空的度量關係之本身、如何因重力而產生改變。

空間和時間、在這個理論中扮演著雙重的角色：它既構成動力學的對象，也構成定義其他動力學的背景。這種自我指涉的雙重面向、賦予廣義相對論不同於其他物理理論之特徵。

如前所述，Christoffel 符號是用來衡量基底向量的微小改變之係數，具體地說，Christoffel 符號是一組數字，代表基底向量沿著彎曲空間中的曲線被平行輸運 (parallel transported) 時、各分量的變化率，也可以被看成是解釋空間曲率的校正因子；事實上，Einstein 曾經直白地表明，他在概念上將重力場等同於 Christoffel 符號。

Christoffel 符號之所以在廣義相對論中頻繁出現，是因為它與時空的度量關係之幾何密切相關；它經常被用於描述質量和能量在時空中的變異，並出現在時空曲率的方程式組中。可以說，Christoffel 符號乃是廣義相對論數學框架的基本組成部分，同時也是計算重力如何影響物體運動、和光的傳播之重要工具，因而被廣泛地運用於黑洞、重力波、及其他與廣義相對論有關的物理研究中。