演算法 | Big O 複雜度| Pseudocode 偽代碼

閱讀時間約 11 分鐘
演算法是一種解決問題的虛擬邏輯。

想像一下,今天要在字典裡面找到 Zoo,有幾種方法:

  • 逐頁查找:如果字典有 1000 頁,最糟情況下需要翻 1000 次 才能找到。
  • 兩頁兩頁找:這樣的話,1000 頁最多要翻 500 次。
  • 二分查找:從字典的中間開始,假設翻到 M,而 Z 在 M 之後,這時可以忽略掉左邊的資料。使用這種方法,1000 頁只需要翻大約 10 次(對數操作,log₂1000 ≈ 10)。

這三種方法都可以成功找到「Zoo」,但哪一種是效率最高的呢?

同樣地,程式也可以正確運行,但如何讓它效率更高呢?其中一個衡量標準是時間複雜度。透過理解時間複雜度,我們可以有標準評估程式的優劣。

Big O 表示法是時間複雜度的常用符號,也是軟體工程師應具備的基本知識之一。

時間複雜度

「時間複雜度」用來表示一個演算法隨著輸入大小(通常記作 n)增長時,運行所需的步驟數的變化。時間複雜度主要是用 O( ) 即 Big O 表示法來表達。

O(n) 念作 O of n,雖然有時可能會遇到像 O(n/2) 這樣的情況,但常數倍數(如 /2)在 Big O 表示法中並不影響複雜度的大小,因為對演算法的整體速度影響不大。因此,通常省略常數,直接用 O(n) 表示。

Big O 用來表示演算法在最壞情況下的時間複雜度上限,描述的是隨著資料量增大,運行步驟增長的趨勢。

例子:1 加到 100 如果使用迴圈來計算 1 加到 100,電腦就需要執行 99 次。如果是加到 1000,則需要執行 999 次,因此這是一個 O(n) 的演算法。而如果使用公式 [(1+100)∗100]/2,這只需要固定的 3 個步驟(加、乘、除),不管數字多大,因此這是一個 O(1) 的演算法。


各種時間複雜度的解釋:

  1. O(n²): 如果有 n 個資料,運行時間會是 n²(比如 n² 次運算)。常見於雙重巢狀迴圈,常用在處理圖像或是矩陣。
  2. O(log n): 如果有 n 個資料,運行時間是 log(n)。雖然技術上是 log₂(n),但底數(2、10)在 Big O 表示法中是可以忽略的,所以我們通常簡單寫作 O(log n)。一個典型的例子是二元搜尋。
  3. O(n): 如果有 n 個資料,運行時間與資料量呈線性關係,即每個資料都需要處理一次。這樣的演算法就屬於 O(n)。

在演算法的時間複雜度會忽略常數,且只看最高次項,因為最高次項對演算法的執行時間影響最大,而常數和係數的影響相對較小。例如:

5n2+3n+2

  • 5n是二次項,
  • 3n 是一次項,
  • 2 是常數項。

當我們分析時間複雜度時,我們會忽略常數 2 和低次項 3n,因為當 n 越來越大時,低次項就不重要。我們只會看最高次項 ,所以這個演算法的時間複雜度可以簡化為 O(n2)。

時間複雜度排序圖解

  • 最好的是綠色的 O(1),不管輸入數值多大,步驟固定不變。
  • 最差的是粉紅色的 O(n!),也就是階乘增長,隨著輸入數量 n 增長,程式跑的步驟數會迅速增加。
raw-image


補充 Big O、Big Ω 和 Big Θ:

  1. Big O:只關注演算法的上界,表示最大可能的運行時間。
  2. Big Ω:只關注演算法的下界,表示最小可能的運行時間。
  3. Big Θ:同時考慮上界和下界,表示演算法的精確時間複雜度,適用於上下界一致的情況。

** 注意:big O 可以代表所有上界,它是個範圍而不是定值,但我們只會取其最佳者。

raw-image

假設某演算法的時間複雜度,最差是 2最好是 n2 ,這張圖中,2的右邊都是 Big O,n2 的左邊都是 Big Ω

Big O 是最常用的,因為通常我們最關注演算法在上界的表現。

最後的總結:

Big O 表示法常用來描述演算法的最壞情況下的效率。雖然還有 Big Ω 和 Big Θ 這些表示法,但新手只需要記得 Big O 是用來分析時間複雜度的常見工具。在軟體工程師面試時會詢問「這種寫法的 Big O 是多少?」,並詢問有沒有更好的 Big O。

線型搜尋、二元搜尋的時間複雜度

線性搜尋(Linear)就是一頁一頁找

  • 最佳情況:O(1),第一格就找到。
  • 最糟情況:O(n),目標值在最後一格,要走過每筆資料才能找到。
  • 平均情況:O(n/2)=O(n)。但是數字大到可忽略 /2 的差異。
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二元搜尋(Binary search)

需要已排序的資料。直接從中間對半切,再根據該資料落在左邊或是右邊繼續找。

  • 最佳情況:O(1),切一次就找到。
  • 最糟情況:O(log2n),目標值在最後一格,要走過每筆資料才能找到。
  • 平均情況:O(1)+O(log2n) 約略等於 O(logn)。
raw-image



線性搜尋、二元搜尋程式碼

我一開始的寫法:

目的:一個一個讀,找到數字就回傳 found ,沒有就回傳 not found。

#include <cs50.h>
#include <stdio.h>

int main()
{
int number[] = {1, 20, 4, 25, 50, 100};
int n = get_int("Number: ");
for (int i = 0; i < 6; i++)
{
if (number[i] == n)
{
printf("Found\n");
}
else
printf("Not Found\n");
}
}

結果跑出:

raw-image

但我其實是需要只需要傳一次就好,要全部都讀完才告訴我有沒有。現在,再試一次另外一種寫法。

#include <cs50.h>
#include <stdio.h>

int main()
{
int number[] = {1, 20, 4, 25, 50, 100};
int n = get_int("Number: ");
for (int i = 0; i < 6; i++)
{
if (number[i] == n)
{
printf("Found\n");
}
}
printf("Not Found\n");
}

這次也同時跑出 FoundNot Found ,原因是不管程式前面如何運行,結果都會產生 Not Found

所以要使用 return 0 表示成功不再繼續運行;而 return 1 表示失敗。

#include <cs50.h>
#include <stdio.h>

int main()
{
int number[] = {1, 20, 4, 25, 50, 100};
int n = get_int("Number: ");
for (int i = 0; i < 6; i++)
{
if (number[i] == n)
{
printf("Found\n");
return 0; // 成功,不用再繼續跑
}
}
printf("Not Found\n");
return 1; // 失敗,找不到
}


Pseudocode 偽代碼

在正式寫出可以運行的程式之前,我們可以先從第一步到最後一步想好如何解決問題,並使用接近程式邏輯的方式來思考。這就像寫英文作文時,先用英文擬出大綱,再補充內容,最後調整成正確的文法。

偽代碼(pseudocode)有助於梳理邏輯思路。它不屬於任何特定的程式語言,因此無論用哪種語言,偽代碼都能幫助我們組織和規劃解決問題的步驟。當邏輯清晰後,再根據所選的程式語言進行細節調整。例如,思考如何進行 1 到 7 的迴圈時,可以先寫出偽代碼:

for i from 1 to 7: 
i++

這雖然不是正確的語法,但它幫助我們釐清迴圈的運作方式。而在實際的 C 語言中,這段偽代碼可以被改寫為:

for (int i = 0; i < 7; i++)

另外一個例子,我第一次寫 1 加到 100。可以先寫個步驟的思路再寫偽代碼:

  • sum 設為 0。
  • 使用 for 迴圈,從 i = 1 開始,直到 i = 100 結束。
  • 每次迴圈中,將目前的 i 值加到 sum 中,得到新的 sum 值。
  • 注意,以下偽代碼不能在程式運行,因為沒有標頭檔,和主程式 int main()。
int sum = 0; 

for (int i = 1; i <= 100; i++) {
sum = sum + i;
}

如果以 Python 的概念可以寫成:

sum = 0 

for i in range(1, 101):
sum += i

print(sum)

C Structures (structs)


假設我今天要建立「學生」的資料庫,這個學生有多種不同類型的資料需要儲存,比如姓名、年齡、學號和成績。這些資料的類型可能是字串(姓名)、整數(年齡)、浮點數(成績)。如果不用 Structures,可能需要為每一個資料建立一個變數,這會讓程式變得很複雜。結構可以能把這些相關的資料整合在一起,像是「打包」成一個資料包一樣,更方便工程師管理跟使用。至於詳細的應用會在下篇詳述。

補充資料

Big O 在面試的情境。

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