從１～１０的正整數當中，任取ｎ個數，求總和為偶數的可能（解答篇）｜排列組合

首先，我們來回顧一下題目：從１～１０的正整數當中，任取ｎ個數總和為偶數，其所有取法數量稱為Ｋn。

例如取１個數字，一定得是從５個偶數取其１，故取法＝５種，即Ｋ₁＝５

試求：

(1)Ｋ6之值為多少（可以用Ｃ列舉即可，不用加總）

(2)Ｋ₁＋Ｋ₂＋...＋Ｋ₁₀之值為多少

需要用到的公式

1. Ｃ^ｍ_ｎ＝Ｃｍ取ｎ＝從ｍ個物品中取ｎ個物品的方法數。
   計算方式為ｍ！／［（ｍ－ｎ）！×ｎ！］
2. Ｃ^ｎ_０＋Ｃ^ｎ_１＋．．．＋Ｃ^ｎ_ｎ＝２^ｎ

接下來我們需要留意，題目提及總和為偶數，那就跟數字的奇偶性質有相當重要的聯繫，（奇＋奇＝偶，偶＋偶＝偶，奇＋偶＝奇，偶＋奇＝奇）

我們還是先用列舉的方式，讓已知條件更直白，思緒也能更加清晰。

題目中Ｋ_１即為「取１個數字，為偶數的方法數」，取法自然就是Ｃ^５_１。

那麼就是「取２個數字，總和為偶數的方法數」，有可能是取到２個奇數０個偶數，或是取到０個奇數２個偶數，取法＝Ｃ^５_０Ｃ^５_２＋Ｃ^５_２Ｃ^５_０。

全部的情況可以參考下圖：

請暫時忽略Ｋ０，原因如下所述

（↑順便解決第一小題）​

接下來如果要全部乘開，難度也不算太高（不是幾千幾萬的那種數字）。

當然也可以透過提公因數的方式省下一些計算的力氣。

總而言之，最後加總之後會得到答案５１１。

※（Ｋ_０代表未取數字，不能當作取了０，所以不能算成偶數，故計算時需要排除）※

單以解題而言，這題算到這樣已經可以交差了，畢竟有得到正確答案。

但回到前一篇所說的，學生提到：「到時候學測我又不可能有這麼多時間可以列」

於是在Ｃ老師和本咚的反覆推敲下，有了重大突破。

降維打擊

有一個至關重要的思維就是：因為１～１０總和（Ｋ_１０）是奇數，例如取６個數總和為偶數，那剩下的４個數總和就會是奇數。

或是假設取３個數總和為奇數，那剩下的７個數總和就會是偶數。

也就是說，取幾個數總和為偶數，剩下的數總和就會是奇數。

再寫得仔細一點就是

取１數為偶數的方法數＝取９數總和為奇數的方法數

取２數總和為偶數的方法數＝取８數總和為奇數的方法數

取３數總和為偶數的方法數＝取７數總和為奇數的方法數

⋮以此類推

取８數總和為偶數的方法數＝取２數總和為奇數的方法數

取９數總和為偶數的方法數＝取１數為奇數的方法數

還跟得上吼？

而奇數和偶數的數量相等，所以只需要算出全部的取法，接下來再除以２就可以了。

全部取法＝１０個數字，每個數字取ｏｒ不取，各有２種方法，總共有２^１０＝１０２４種，而１０２４÷２＝５１２。

只有一個小小的地方要修正，就是前面提到的Ｋ_０要扣除，答案就變成了５１１。

瞬間從列舉反覆計算的枯燥問題，變成－－－更可怕的問題了呢：）

開玩笑的，從題目當中訓練邏輯思維，以及思辨成長，才是最重要的。

寫對寫錯是其次，從中獲取的知識才是精華。

好啦，之後寫點別的，怕燃姐頭又痛了🤣

（壞咚咚！你還寫，你還寫！）