以泰勒展開式快速理解Black–Scholes 模型

Black–Scholes 模型的背景

在經典的 Black–Scholes 設定中，標的資產 S_t​符合對數常態分佈

且滿足隨機微分方程（SDE）：

其中

• μ為資產的「飄移率」(drift)，
• σ 為資產的「波動度」(volatility)，
• W_t​ 為標準布朗運動 (Wiener process)，
• S_t 為資產價值在時間 t的隨機變數。

然而，在定價無套利理論下，最終我們會將 μ 改成無風險利率 r 來對應「風險中立測度」。也就是說，在風險中立世界中，資產的價值演化滿足

這個模型通常也被稱作 lognormal model

接下來，若我們考慮一個衍生品的價格 V(S,t)，則我們想找出滿足市場無套利、對應風險中立測度下的定價偏微分方程，也就是經典的 Black–Scholes PDE。

泰勒展開推導伊藤引理（Ito' s Lemma）並獲得 Black–Scholes PDE

常見的 Greeks 及其涵義

Delta (Δ)

1. • 代表當標的物價格 S 微小變動時，選擇權（或衍生品）價格的變化量。
   • 在對沖策略中，通常持有 Δ 股標的資產可抵消選擇權價格對S 一階敏感度的風險

Gamma (Γ)

1. • 代表 Δ 本身對 S 的變化速度。
   • Gamma 大小也衡量了對沖誤差的敏感度。當市場價格 S 不斷波動時，需要不斷地調整對沖部位，此時 Γ越大，調整越頻繁也越「昂貴」。

Vega (ν)

1. • 代表當標的物波動度 σ 改變時，衍生品價格的變化。
   • Vega 越大，表示該衍生品對波動度的敏感度越高。

Theta (Θ)

1. • 代表當時間往後推移（其他條件不變）時，衍生品價格的變化率。
   • 對於歐式選擇權而言，隨著到期日的逼近，時間價值遞減（特別是虛值選擇權），通常 Θ 為負。

Rho (ρ)

1. • 代表當無風險利率 r 改變時，衍生品價格的變化率。
   • 對於較長到期的衍生品，ρ 的影響會比較顯著。

Black–Scholes PDE 與反應-對流-擴散方程 (Reaction–Convection–Diffusion PDE) 的關係

Reference: Paul Wilmott on Quantitative Finance