一切從觀察開始：河內塔問題與演算法設計

演算法的本質

「演算法是什麼？」這個問題的答案存在於生活的各個角落。廚師將食材轉化為佳餚的食譜、音樂家將樂譜演繹成動人旋律的過程，甚至是孩童將廢紙摺成紙飛機的步驟，都隱含著演算法的核心精神——在特定限制下，將輸入轉換為輸出的系統性流程。

當我們用程式設計師的角度理解，演算法便是將問題的輸入（如程式指令）轉化為預期輸出（如運算結果）的明確步驟。

執行者 輸入 輸出

廚師 食材 美食

演奏家 樂譜 音樂

程式設計師 程式輸入 程式輸出

河內塔問題的啟示

這個古老遊戲完美體現了演算法設計的精髓。

問題情境如下：

將左柱上的碟子全數移至右柱，需遵守：

1. 每次只能移動一個碟子
2. 只有柱頂的碟子可被移動
3. 大碟不可置於小碟之上

河內塔

通過觀察三碟案例，我們發現需7個步驟完成。

這引發關鍵問題：

「n個碟子時，最少需要多少步？」

從觀察到數學模型

建立數學符號 Tn 表示n碟所需步數，並通過小案例建立數列：

敏銳觀察可發現隱藏規律：

我們以 T(n) 表示移動 n 個碟子所需的最少步數，並透過小案例建立數列：

• T(1) = 1
• T(2) = 3
• T(3) = 7

觀察發現： T(n) = 2T(n-1) + 1

這即是遞迴解法的核心策略：

1. 先將前 n-1 個碟子移至中柱（需 T(n-1) 步）。
2. 移動最底層碟子至右柱（1 步）。
3. 再將 n-1 個碟子移至右柱（再 T(n-1) 步）。

河內塔問題的遞迴解法實作

def hanoi(n, source, target, auxiliary):
    """
    遞迴解河內塔問題
    :param n: 碟子數量
    :param source: 來源柱子
    :param target: 目標柱子
    :param auxiliary: 輔助柱子
    :return: 總移動次數
    """
    if n == 0:
        return 0
    
    # 移動前n-1個碟子到輔助柱
    count = hanoi(n-1, source, auxiliary, target)
    
    # 移動最底層碟子
    print(f"移動碟子 {n} 從 {source} 到 {target}")
    count += 1
    
    # 移動n-1個碟子到目標柱
    count += hanoi(n-1, auxiliary, target, source)
    
    return count

# 測試3個碟子
total_steps = hanoi(3, 'A', 'C', 'B')
print(f"\n總移動次數：{total_steps}")

• hanoi(n-1, source, auxiliary, target)：先移動前n-1個碟子到輔助柱
• 移動第n個碟子到目標柱
• hanoi(n-1, auxiliary, target, source)：最後移動n-1個碟子到目標柱

執行結果:

總結

河內塔問題揭示演算法設計的關鍵技巧：

1. 觀察模式：從具體案例發現數列規律
2. 建立遞推：將複雜問題分解為子問題
3. 數學建模：用公式精確描述問題關係
4. 歸納證明：確保解法的普遍正確性

這個過程體現了「從觀察出發」的核心精神。就像摺紙飛機需要逐步疊加技巧，演算法設計也需要透過系統性觀察與邏輯推演，將直覺轉化為可執行的計算步驟。這種思維模式不僅適用於經典問題，更是解決各類計算問題的基礎框架。

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