上古漢語的邏輯結構 029

1.0 從函數到函算語法

1.2 函數概念小史

1.2.2 一個速度問題

1.2.3 幾何的方法

1.2.4 微積分的記法

 二

前面說過，牛頓關心的不是抽象的數學問題，他要解決的是天體運動的問題。

他知道，假如他擁有該天體在任何一刻的瞬速數據，他便能夠從質量重力定律和他的三個運動定律推出天體運行的軌道。牛頓從計算物體速度 v (velocity) 的標準定義出發﹕物體在某段時間移動的距離 d (distance) 除以該時間 t ﹔即

而 d 是在時間 t 內沿 x 軸 (即量度 d 的軸) 始於 0 的移動距離。問題是

只是時間 t 內的均速，不一定能夠表示任何瞬速，即假如物體在時間 t 內的速度有變動。牛頓考慮的方向是我們能否計算物體在瞬間的極小時距中的運動。牛頓的眼光在於他想到要取得某刻的瞬速，便要計算當刻物體在極小時段內運動的速度。如果當刻 (時間) 為 t，△t 為物體移動了極小距離 △d 的極小時段，兩者的比率便是

在數學傳統內，凡將「△」置於某物前即指稱該物的極小量。假如 △t 夠小的話，

的比率比

的商數更能準確界定物體的瞬速。「當刻 (時間) 為 t」的意思是指物體從 t 移動到 t + △t 或從 t －△t  移動到 t 的時段。但這改變不了一個事實，無論 △t 如何地小，

給出的仍然是在極短時段內的平均速度，不是瞬速 v。為了算得瞬速，有必要容許 △t 逼近至成為零。這是牛頓的另一個機靈的想法。這個逼近至成為零的過程的通常記法為²⁸

，意思是 △ 後的 d 或 t 成為零。直覺告訴我們，當時間為零，距離免不了還是零;

似乎不太有意義。

但牛頓 (和萊布尼茲) 拒絕直覺結論的普遍性。雖然分數的分子和分母趨零，但分子和分母如何各自趨零卻能影嚮到比率，從而得出有意義的數值 (商數)。在趨零的過程中，分子和分母中的變元量必然趨向某個極限值。以下的例子是教科書常用的。設有這樣的一個分數﹕

如果容許 d 趨向 1，顯然結果為

一個沒有意義的值。但假如將分子分解成它的因數，效果則柳暗花明，另有一番境地。將 1－d² 分解成 (1－d) (1－d) 便有

分子中與分母相同的因子相約，得出 1＋d ﹔當 d＝1，我們有 1＋1＝2 。通過這個思考操作，牛頓演示出²⁹

是一個具普遍意義的數式，並且的確是物體在當刻 t 的瞬速。

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²⁸ 為了方便解說，這裡直接採用現代記法﹔牛頓沒有這個記法。

²⁹ 再強調一次，這是現代記法，不是牛頓用的記法。

待續