1.0 從函數到函算語法
1.2 函數概念小史
- 1.2.1 中譯的來源
- 1.2.2 一個速度問題
- 1.2.3 幾何的方法
- 1.2.4 微積分的記法
- 1.2.5 弦的振動
特朗貝爾依循當時數學界對函數的普遍理解，視「函數」為任一分析式。
但這時的歐拉宣稱函數不必是正常意義下的函數，而可以是 0≦x≦l 區間隨手劃的一條曲線，並且順著具奇數周期性的(實)數線延伸。此時我們可以見到 (FE1) 和 (FE2) 最明顯的差異是歐拉寫於1755年的定義不再堅持函數必須是個分析式。問題是，隨手劃的曲線可以有變化多端的線狀，其中當然包括可以起角的「曲線」了。非常有趣的是，特朗貝爾本是物理學家，在這個問題上的思考方式卻像一個數學家﹔另一方面，歐拉本是數學家，在同一問題上的思考方式卻像一個物理學家。因此，頗懂音樂及弦樂器的歐拉顯然目睹過勾扯的弦線 (呈起角狀)，故而借用一個物理觀察施加一個數學條件。
可以想像得到，在公元十八世紀的歐洲數學界，一旦容許有角的新曲線做為波動方程 (對弦線振動的普遍描述) 的解，爭議幾乎可以肯定會不請自來。特朗貝爾的其中一個反對理由就在這裡。呈角狀的點將兩條不同性質的曲線人為地連上，使在該點的力不明確，致使運動為不可能﹔因此物理學家特朗貝爾驚覺「自然界堵截了計算」。歐拉這時的立場卻變回純數學工作者﹕那就讓物理學家去擔憂關於複合弦運動的問題吧。
極度多產的歐拉對時間的使用嚴守紀律35，退出了論爭，但他不忘提醒說，要發展出一個包含「不當」或「混合」函數的微分方程理論還是可能的。[Luzin 1998: 63]
特朗貝爾則堅持起角的弦線使求解不可能。
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35 歐拉一生發表的論文和書本共超過500之數，平均每年發表800多頁。
待續
