大學微積分題解--通過雙重積分計算面積

前導

在本節中，我們將介紹如何利用雙重積分來計算平面上有界區域的面積。

因此，我們將區域 R 的面積定義為:

範例講解1

求由拋物線 y = x² 和直線 y = x + 2 所圍成的區域 R 的面積。

若我們先對 x 積分，再對 y 積分，則區域 R 會拆分為兩部分 R₁​ 和 R₂​，如下圖:

面積的雙重積分形式為:

若改變積分順序，先對 y 積分，再對 x 積分，則:

區域 R 的面積表示為:

這種積分方式只需一個積分式，計算上更為簡單。

最後我們實際計算數值:

算後算出答案:

所以說，結論為:

• 改變積分順序可以簡化運算。
• 雙重積分中，選擇適合的積分順序是實務上常用的技巧。

平均值(Average Value）

對於一個單變數函數，其在封閉區間上的平均值是:「函數在該區間上的積分」除以「該區間的長度」。

相似地，對於一個定義在平面上有界區域的二變數可積分函數，其平均值定義為:「該函數在區域上的雙重積分」除以「該區域的面積」。

舉個例子:

若 f(x, y) 表示一塊薄板上某點的溫度，那麼其在區域 R 上的雙重積分除以面積，就是這塊薄板的平均溫度。

範例講解2

求函數 f(x,y) = x cos⁡(xy) 在矩形區域:

上的平均值。

首先計算 f(x, y) 在區域 R 上的雙重積分:

先對 y 積分，這是以 x 為常數的積分:

最後，我們知道:

• 區域 R 的面積為 π
• 所以函數 f(x, y) 在區域 R 上的平均值為: