前導
在本節中，我們將介紹如何利用雙重積分來計算平面上有界區域的面積。
如果我們在雙重積分中令 f(x, y) = 1，則我們就變相的是在計算面積，即將每個小矩形的面積加總起來，近似整個區域 R 的面積。
因此，我們將區域 R 的面積定義為:
範例講解1
求由拋物線 y = x2 和直線 y = x + 2 所圍成的區域 R 的面積。
若我們先對 x 積分，再對 y 積分，則區域 R 會拆分為兩部分 R1 和 R2，如下圖:
面積的雙重積分形式為:
若改變積分順序，先對 y 積分，再對 x 積分，則:
區域 R 的面積表示為:
這種積分方式只需一個積分式，計算上更為簡單。
最後我們實際計算數值:
算後算出答案:
所以說，結論為:
- 改變積分順序可以簡化運算。
- 雙重積分中，選擇適合的積分順序是實務上常用的技巧。
平均值(Average Value）
對於一個單變數函數，其在封閉區間上的平均值是:「函數在該區間上的積分」除以「該區間的長度」。
相似地，對於一個定義在平面上有界區域的二變數可積分函數，其平均值定義為:「該函數在區域上的雙重積分」除以「該區域的面積」。
舉個例子:
若 f(x, y) 表示一塊薄板上某點的溫度，那麼其在區域 R 上的雙重積分除以面積，就是這塊薄板的平均溫度。
範例講解2
求函數 f(x,y) = x cos(xy) 在矩形區域:
上的平均值。
首先計算 f(x, y) 在區域 R 上的雙重積分:
先對 y 積分，這是以 x 為常數的積分:
最後，我們知道:
- 區域 R 的面積為 π
- 所以函數 f(x, y) 在區域 R 上的平均值為:
