舊業重溫9--解一個短短的四次方程式

在YT上看到一位老師解一個四次方程式的影片,方程式短短的,

但他的解法相當曲折,學生假若未曾學過看過,恐怕非常不容易想出這樣的招數。

接下來進行解題,先看我的解法。
解法一、

我們發現,剛好 2⁴+1⁴=17=(-1)⁴+(-2)⁴,
所以代入x=0和x= -3都滿足方程式,也就找到兩個根0與 -3。
但我們知道,四次方程式實根和虛根總共有4個,表示還要找出兩個。
設多項式f(x)= (x+2)⁴+(x+1)⁴ -17, 則f(0)=f(-3)=0,
依因式定理, f(x)可分解出x與x+3兩個因式,
所以 f(x) = x．(x+3)．g(x), 這裡的g(x)是某個二次式。 
由此可知,這屬於第一類型方法。

我們如何知道g(x)長甚麼樣子?簡單,使用綜合除法,把f(x)連續除以兩個一次因式就行了。但是動手做除法之前,必須先展開,合併同次項,並按降冪排列。

展開4次方,可用二項式定理,在《舊業重溫7》中提過(歡迎參閱),此處再溫習一遍:
(x+2)⁴ =C(4,0)x⁴+ C(4,1)x³．2 + C(4,2)x²．2² + C(4,3)x．2³ + C(4,4)．2⁴
     = x⁴+ 4．2．x³ + 6．4．x² + 4．8．x + 16
     = x⁴+ 8x³ + 24x² + 32x + 16
同理, (x+1)⁴ = x⁴+ 4x³ + 6x² + 4x + 1  (詳細過程省略,以免篇幅過長)
∴ f(x)=(x⁴+ 8x³ + 24x² + 32x + 16) + (x⁴+ 4x³ + 6x² + 4x + 1) – 17
     = 2x⁴+ 12x³ + 30x² + 36x

在現行的108課綱裡,二項式定理放在多項式後面,如果學校還沒教到,看不懂,那就把剛剛的忘掉,我們換一條途徑。

前文說到 f(x) = x．(x+3)．g(x), 其中g(x)是二次式。那麼,可假設 g(x) = ax² + bx + c,
也就是 f(x) = x．(x+3)．(ax² + bx + c) = (x+2)⁴+(x+1)⁴ -17
找三個好算的數代入x,得到三個a、b、c的方程式,但不要代0和-3,因為會使a、b、c都消失。
代入x= -2, 得 (-2)×1×(4a-2b+c) = 0 + (-1)⁴ -17 = -16  => 4a-2b+c = 8  ……(ㄅ)
代入x= -1, 得 (-1)×2×(a-b+c) = 1⁴+ 0 – 17 = -16     => a-b+c= 8     ……(ㄆ)
代入x= 1, 得 1×4×(a+b+c) = 3⁴ + 2⁴ –17 = 80       => a+b+c=20    ……(ㄇ)
(ㄅ) (ㄆ) (ㄇ)聯立解得 a= 2, b=6, c=12 
∴ f(x) = x(x+3)(2x²+6x+12)
∴本題的另兩根,就是2x²+6x+12=0的兩根,套公式解得

解法二、

擁有銳利眼光看出一兩個根並不容易,欲提升功力,當須在數海浸淫久一點。對於難以洞察幽微的芸芸眾「生」,推薦另一個方法,也是用到二項式定理。有差嗎?看下去再說。

設立新變數t=(x + 3/2), 則原方程式可代換成 ( t + 1/2)⁴+ ( t –1/2 )⁴ –17 = 0
仿解法一, 展開前一個括號,

合併化簡, 三次項、一次項係數異號消去, 得新方程式 2t⁴ + 3t² –(135/8) = 0

係數同乘以8,去掉分母: 16t⁴ + 24t² - 135 = 0
還是四次的,會比較好算嗎?仔細瞧,奇次項都消失了,就是此招的特點。
依指數律 t⁴ = ( t² )²   ∴ 16( t² )² + 24( t² ) - 135 = 0
把括號內視為一個未知數,形式上變成二次方程式(第三類型),利用十字交乘法分解為
(4t² + 15)(4t²–9)=0

最後來看油挑伯(YouTuber)的迂迴絕招。
解法三、

令 x+2=a, x+1=b, 則
 a – b =1     ……(ㄈ)
 a⁴ + b⁴ = 17   ……(ㄉ)
利用乘法公式(請參閱《舊業重溫5》),搭配指數律,
a⁴ + b⁴ = ( a² )² + ( b² )² = (a² - b² )² + 2a² b² =[(a+b)(a-b)]² + 2(ab)²
根據(ㄈ) (ㄉ), 得到
 17 =[(a+b)．1]² + 2(ab)² = (a+b)² + 2(ab)²  ……(ㄊ)
而(a+b)² = a² + 2ab + b² = a² - 2ab + b² + 4ab =(a-b)² + 4ab = 1 + 4ab
∴(ㄊ)式化為 17 = 1 + 4(ab) + 2(ab)² , 移項整理,
2(ab)² + 4(ab) -16 = 0, 係數同除以2, 得 (ab)² + 2(ab) -8 = 0,
視ab為一個新變數,形式上又是一元二次(也是第三類型),,用十字交乘因式分解,得
(ab+4)(ab-2)=0  =>  ab= -4 或 ab= 2
代換回x  =>  (x+2)(x+1)= -4 或 (x+2)(x+1)= 2,
後面繼續解兩個一元二次方程式而已。

[陳傳義]拍攝

附言:

本題的常數2,1,17可以變更,未必仍然容易找到明顯的解,解法一或許不好施展,但解法二與解法三依舊可以試試看,不過出題者最好先找好算的結果,不要隨便捏數字,否則可能很難算,答案很醜陋,害慘學生。如果括號內的x前有不同的係數,例如一個2x,一個3x,那麼本文的後兩種解法大概就派不上用場了。