🎯 單元學習目標
完成本單元後，你將能夠：
• 一句話說清楚電場：空間中每點對單位正電荷的力（方向/強度）
• 用標準測試定義電場：放極小正試驗電荷 q、量力 F，算 E = F/q
• 分辨電場來源：靜電以電荷分佈為主（並知道變磁會產生渦旋電場）
• 用點電荷建立尺度感：|E| ∝ 1/r²、場線方向/密度
• 說出導體靜電三鐵律：內部 E=0、表面等位、外側 E_t=0（場線垂直）
• 用能量觀抓高場風險：u_E = 1/2·ε·|E|²，並用 |E|≈V/d 快估熱點
• 連到工程：電容儲能、擊穿/ESD、串擾、屏蔽接地（改寫邊界條件）
🧭 一、先抓住三個核心名詞：力、源、能量
⚡ 電場 E：單位正電荷在該點受到的力（方向與強度）
🧲 電荷 Q：電場的源（source），正電荷放射、負電荷吸入
🔋 能量觀點：電場不是“存在而已”，它儲存能量、能做工、也能被你用來搬運訊號與功率
電場＝空間的“力學規格書”。你把電荷放進去，它就照規格推你。
（補註，避免被挑語病）
本章聚焦「靜電」：電場主要由電荷分佈決定；在一般電磁情況下，時間變化的磁場也會產生渦旋電場（∇×E = −∂B/∂t），但本單元先不展開。
⚡ 二、電場的定義：不是背公式，是一個「標準測試」
電場的定義其實是一個實驗規格：
📌 在空間某點放一個極小的正試驗電荷 q（小到不會改變原本分佈），量到它受到的力 F。
那該點電場定義為： ✅ E = F / q 方向：跟 F 同向（針對正電荷） 大小：表示「每庫侖會被推多大力」
（單位銜接電勢很重要）
E 的單位是 N/C（牛頓/庫侖），等價於 V/m（伏特/公尺），後面學電勢時會看到它其實是「電勢在空間的斜率」。
【電場定義的標準測試】
(先有) 空間中原本的電荷/邊界 → 形成某點的場
● P
(測試) 在 P 放「極小」正試驗電荷 q
⊕ q
↑ 量到力 F
定義：E(P) = F / q (q 要小到不改變原場分佈)
方向：對正電荷，E 與 F 同向
🧠 三、電場的物理直覺：它是“看不見的推力地形”
你可以把電場想成：
🗺️ 推力地形圖：
• 哪裡推得強（E 大）
• 往哪個方向推（E 的方向）
• 邊界（導體、介質）會把地形“改造”
✅ 工程直覺：
你做的電路、封裝、走線、天線、電容，本質上都在“塑形”這張推力地形圖。
🧲 四、電場從哪來？（最核心：電荷是源）
在靜電世界，電場的源頭就是電荷分佈： ➕ 正電荷：場線向外 ➖ 負電荷：場線向內
而在理想點電荷模型中，電場隨距離衰減（越遠越弱）——這個衰減規律，是你後面理解高斯定律與電通量的關鍵。
【正負電荷的場線方向】
Q > 0（向外） Q < 0（向內）
↗ ↑ ↖ ↖ ↓ ↗
\|/ \|/
←---- ⊕ ----→ ←---- ⊖ ----→
/|\ /|\
↘ ↓ ↙ ↙ ↑ ↘
E 方向：沿場線切線方向（以正試驗電荷為準）
場線越密 → |E| 越大
🧮【數學補強 A｜點電荷的電場（你只要記住“1/r²”）】
點電荷 Q 在距離 r 處的電場大小： |E| = (1 / (4π ε)) · (|Q| / r²)
方向：
• Q>0：沿徑向向外 • Q<0：沿徑向向內
✅ 工程直覺：
1/r² 代表你離源頭越遠，影響力掉超快。這就是為什麼屏蔽、間距、布局很有效。
🧱 五、導體在靜電下的“鐵律”（電場會逼你遵守）
靜電平衡時（導體不再有電荷流動）：
- 🛑 導體內部 E = 0
- 🧾 導體表面是等位面（之後學電勢會更清楚）
- 🎯 導體表面外側的切向電場分量 E_t = 0，因此電場線必須垂直表面
（否則切向分量會推動自由電荷沿表面流動，直到平衡把 E_t 消掉）
✅ 工程意義：
導體會把場線“擠壓並重導”，所以金屬外殼與接地才那麼關鍵。
【導體邊界：E_t = 0 → 場線必垂直】
外部電場線
↓ ↓ ↓
↓ ↓ ↓
================= 金屬導體表面
| |
| E = 0 | ← 導體內部靜電平衡：E=0
| |
=================
若表面有切向分量 Et →
會推動自由電荷沿表面流動 → 直到 Et 被消掉
所以平衡時：Et = 0，只剩法向 En（垂直）
🔋 六、電場的能量：你不是在玩箭頭，你是在搬運能量
電場能做工，也能儲能。 在真空/線性介質中，電場能量密度（每立方米有多少能量）為： 🧮 u_E = 1/2 · ε · |E|²
（補註）
若介質非線性或有色散，能量表達會更複雜；本單元先用線性近似。
✅ 工程直覺：
E 越大，能量密度是平方上升 → 高場區很容易導致： ⚠️ 介質發熱、擊穿、ESD、可靠度問題。
（工程快估，後面會一直用）
平行板/近似均勻場：|E| ≈ V/d → d 變薄或 V 變大，E 立刻變大；再平方進 u_E，風險會暴增。
【能量密度平方效應：高場熱點】
E 小：能量密度低 E 大：能量密度高（平方上升）
[ 低 uE ] [ 高 uE ]
| | | |||||||||||||
| | | ||||||||||||| ← 尖角/薄介質/空隙常形成高場區
🛠️ 七、工程上你到底在“用電場做什麼”？
電場在工程上常以 4 種方式決定成敗：
- 🔌 電容與儲能：電場儲能就是電容的本質（後面會連到電容場論來源）
- ⚠️ 可靠度/擊穿：高電場會擊穿介質（氧化層、板材、空隙）
- 📣 串擾與耦合：兩條線靠太近 → 一條線的電場把能量灌到另一條
- 🛡️ 屏蔽與接地：你不是“擋訊號”，你是在用導體自由電荷的重分佈改寫邊界條件，重導電場能量流向
【串擾：一條線的電場灌到另一條】
Aggressor（激擾線） Victim（受害線）
V(t) ↑ 被耦合出雜訊 v_n(t)
──────────── ────────────
)))))) 電場耦合 ((((((
線距離越近、平行越長、回流越不受控 → 耦合越嚴重
✅ 八、本單元小結
電場 E 的定義是 E = F/q：它是空間對單位電荷的“推力規格”。（單位 N/C = V/m） 靜電下電荷是電場的源；距離越遠影響越弱（1/r²）。 導體在靜電平衡下內部 E=0，表面切向電場 E_t=0，因此場線必須垂直。 電場不只是方向，它還儲存能量 u_E = 1/2 ε|E|²，直接牽涉可靠度、擊穿、耦合與 EMI。
🧪 單元數學練習題（題目下方直接給解答解析）
練習 1｜用定義算電場（最基本）
一個正試驗電荷 q = 2 μC 放在某點，受到力 F = 6×10⁻³ N（方向 +x）。
求該點電場 E（大小與方向）。
✅ 解答解析：
- 定義
E = F / q - 單位換算
q = 2 μC = 2×10⁻⁶ C - 代入計算
E = (6×10⁻³) / (2×10⁻⁶) = (6/2)×10³ = 3×10³ N/C = 3000 N/C = 3000 V/m - 方向
因為是正試驗電荷，電場方向與力同向 → +x 方向
練習 2｜點電荷電場的距離縮放（只用 1/r²）
若距離從 r 變為 2r，點電荷造成的 |E| 變成原來幾倍？
✅ 解答解析：
|E| ∝ 1/r² 變成 1/(2r)² = 1/4r² → 變成原來 1/4 倍
練習 3｜由電場能量密度看“高場危險”（平方效應）
若某區域電場大小從 1 kV/m 增加到 3 kV/m，能量密度 u_E 變成幾倍？（介質 ε 不變）
✅ 解答解析：
u_E ∝ |E|² (3/1)² = 9 → 變成 9 倍 工程意義：高場問題會非常敏感，容易導致發熱/擊穿風險暴增。
練習 4｜導體內部電場（判斷題）
靜電平衡時，導體內部電場：
A. 不一定
B. 等於 0
C. 等於常數但不為 0
D. 只在導體中心為 0
✅ 解答解析：
B 正確。若內部有電場，會推動自由電荷移動，直到把內部電場消到 0 才能達到平衡。
練習 5｜方向直覺題（正負電荷）
點電荷 Q = −5 nC 在空間某點造成的電場方向是：
A. 徑向向外
B. 徑向向內（指向電荷）
C. 與距離無關
D. 與電荷正負無關
✅ 解答解析：
B 正確。負電荷會“吸入”場線，電場方向指向電荷。
