2022-08-28|閱讀時間 ‧ 約 7 分鐘

【自動控制】根軌跡圖

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根軌跡的定義

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■根軌跡的定義

●控制系統轉移函數

●特性方程式及特性根

1.特性方程式 : 閉迴路特性方程式指其轉移函數分母為0之程式

即 1+KG(s)H(s)=0 或 1+kGH=0

亦即 1+開迴路轉移函數=0

2.特性根 : 滿足特性方程式的⎾解 ˩ , 又稱為⎾極點˩

3.特性方程式為零必然有振幅響應及相位響應

●根軌跡

K值在 -∞→+∞區間變化時

1.0K∞ 的特性根移動軌跡稱為根軌跡

2. -∞K0 的特性根移動軌跡是互補根軌跡(根都是共軛複數)

3. -∞K∞ 的特性根移動軌跡,稱為完整根軌跡。

是由根軌跡及互補根軌跡合成

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G(s)=|G(s)|∠G(s) 是用 Magnitude 及 Angle (Phase) 計算

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■Magnitude (振幅響應/大小法則)

開迴路轉移函數 KG(s)H(s) 可以表示為多項式形式

亦即

(s-zi) 代表zi 到s的向量

(s-pi) 代表 pi 到s 的向量

■Phase(相位響應/相位法則/角度法則)

角度之量測一律以正實軸方向為起始線,逆時針旋轉角度為正。

可用多項式表示如下

∠(s-zi) 表示由零點-zi至複變數s 之連線與實軸的夾角

∠(s-pj) 表示由極點-pj至複變數s 之連線與實軸的夾角

【例】G(s) 函數的零點極點如下圖, 請計算 s=-2+j 的 G(s)值

【Ans】(1) 計算Magnitude

(2)計算 Angle

得出計算結果為

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根軌跡作圖規則

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【規則1】起點K=0 : 在完整根軌跡上, K=0的點即是G(s)H(s)的極點

【規則2】終點K=±∞ :在完整根軌跡上, K=±∞的點即是G(s)H(s)的零點

【規則3】在實軸上的根軌跡被完整根軌跡佔滿,因此實軸被極點零點

切割成數段(Real-Axis Segments):

若段落右邊的零點與極點總數為奇數,則此段落屬於根軌跡

若段落右邊的零點與極點總數為偶數,則則此段落屬於互補根軌跡

下圖藍色實軸段落上的所有點就是根軌跡

【規則4】s點趨近±∞ 時的軌跡為完整軌跡線的漸進線(Asymptotes)

【規則5】根軌跡與互補根軌跡各有漸進線=| N-M|條

即完整根軌跡共有漸進2|N-M|

【規則6】漸進線與實軸的夾角

【規則7】漸進線與實數軸的交點(又稱形心)為

【規則8】完整根軌跡之分離角(Departure Angle) :

零點之到達角(Arrival Angle)的計算式為

(1) 分離角 : 根軌跡離開⎾複數極點PJ點˩的角度

(2)到達角 : 根軌跡到達⎾複數零點ZJ點˩的角度

對於開迴路環傳遞函數在 s = -2, -1 + j1 ,-1-j1處有 M=3 個極點。

在 s = -1 處有 N=1 個零。

根軌跡存在於實軸上的-1 和 -2

◎分離角

圖中的上半部分離角角度以灰色顯示。

依據實軸對性可映畫出下半部。

◎到達角

開迴路增益中沒有複數零點，因此沒有到達角。

【規則9】根軌跡與虛軸的交點(臨界穩定的K值)

在s平面上與虛軸的交點及對應的K 值, 可用

羅斯表 (Routh tables)求解

【規則10】分叉點(Breakaway Points/ Saddle points)

特性方程式有多重跟出現的點即為分叉點的位置

特性方程式 1+G(s)H(s)=0 其完整根軌跡的分叉點必須滿足

的解, 可得出根軌跡的分叉點有二:

(1)分叉點(Breakaway point): 根軌跡由實數軸進入複數平面的點

會合點(Break-in point): 根軌跡由複數平面進入實數軸的點

(2)若s1 為一分離點,則該點的 K 值為

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根軌跡作圖--- 範例

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(4)根軌跡的漸進線與實軸的交點及夾角分別計算如下:

(5)漸進線條數

根軌跡共有三條分支經過-4 , 夾角分別為 60度,180度,300度

(6)根軌跡與虛軸的交點

(7)分叉點

(8)繪製根軌跡圖如下:

【TIPS】線上自動繪製根軌跡

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利用MATLAB繪製根軌跡圖

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【例 1】請用Matlab繪製下列開迴路轉移函數的根軌跡圖

經執行後得出根軌跡圖為

【例 2】有一控制系統如下圖,請用Matlab繪製根軌跡並計算

K值下的極點

繪製跟軌跡需先求出特性方程式找到閉迴路的極點, 因此

列出方塊圖的閉迴路轉移函數為

編寫Matlab 腳本繪製根軌跡如下

利用Matlab 腳本將 K 從 0 變為無窮大，以計算閉迴路特性方程的極點

【視頻】Find Range of Gain K For Stability Using Root Locus Plot

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西洋占星

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