大學微積分題解-最大最小值應用問題

解題流程

1. 閱讀題目與建立模型
2. • 釐清問題所求的目標（最大化/最小化的量）
2. 設定變數並寫出目標函數（Objective Function）
3. 代入與簡化函數
4. 求導數並找臨界點
5. 利用導數測試確認極值類型
6. 回代與計算實際數值

常見題型有幾何問題：求最大面積、體積，或者是最小表面積，另外還有成本最小化與利潤最大化問題等等。

例題1

解法:

則:

收入函數等於:

展開計算:

令R'(x) = 0，x = 7。

最終當票價訂為 300 - 10 X 7 = 230 時會有最大收入。

例題2

解法:

首先設定變數:

體積函數:

先展開:

再來求最大值 → 對 V(x) 求導數:

解 V′(x)=0，解出x:

唯一合適的值為 x=1，故最大體積為:

例題3

解法:

設:

圓柱體積為:

列出成本函數(其實應該設容器壁面材料每平方英寸為 a 元，不過我們直接假設 a 為 1，理所當然，底部材料成本每平方英寸為2a，a 為 1的話就等於2):

總成本函數為:

由 (1) 式得:

代入 (2) 式:

對 C(r) 求導並找最小值

令 C′(r)=0:

最後代入半徑與高度間的關係式:

所以為了讓成本最小，容器應設計為:

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最後感謝您的觀看!