所謂的「大都會」，是怎麼個大法？
圖一：講到「大都會」，當然上這張！（Ⓒ手塚治虫、大友克洋、林重行／東寶、BANDAI、Madhouse）
把全國都市的人口數排行榜排出來，例如 C1 表示人口最多的都市，其排名（Rank）R=1，人口數為 N1，第二大城 C2 之 R=2，人口數 N2…依此類推。我們會發現 N 跟 R 大致上成反比：也就是第二大城的人口數是第一大城的一半，第三大城的人口數是第一大城的 1/3…要看這種關係最簡單的方法是畫「對數—對數圖」，橫軸是人口的對數，縱軸是排名的對數（反過來也可以），把城市的排行跟人口點上去，會很接近一條「斜率為 -1」的直線，如圖二所示。
圖二：英國跟美國的大都會排名與人口數的「對數—對數圖」。（https://tradediversion.net/2012/04/20/cross-country-comparisons-of-large-cities/ ）
這個定律一開始是在語言學裡面發現的，哈佛大學的語言學家基福教授（George Kingsley Zipf）在 1949 年發現，在自然語言（比如說英文、德文、西班牙文…）裡面的「單字」，如果我們依它們出現的次數排名，再來看排名與次數之間的關係，也會得到類似的結果，例如在布朗大學所建立的「Brown Corpus」（布朗大學日常美式英語標準語料庫），頻率最高的前三名單字是「the」、「of」跟「and」，在整個資料庫中出現的次數分別是 69971 次、36411 次、以及28852次，大約就是 1 : 1/2 : 1/3。
跟班佛定律一樣，許多自然科學跟社會科學出現的統計數字，會滿足基福定律，比如說把一塊大石頭隔著青蛙打成碎片，把石頭的碎片從大到小排好，碎片的重量也會跟排名成反比。（溫馨小提醒：沒練過波紋氣功的話，青蛙可以省略，以免傷及無辜。）
圖三：石頭的碎片大小分布也會符合基福定律（Ⓒ荒木飛呂彥／集英社）
這個結果數十年來讓許多學者相當傷腦筋，提出各式各樣隨著文明演進，都市如何成長的模型，試圖解釋這個「城市人口分布」之謎。過去的研究大部分都是著眼於「人口成長率與各都市當時人口數」之間的關係。這些模型，相當程度的解釋了人口分布基福定律。不過在這些模型中，通常是「大者恆大」的局面，也就是在某一個時期如果已經發展出都會區，就會一直繁華下去，而較不繁華的鄉鎮地區，則難以翻身。
圖四：七龍珠的作者鳥山明對於「自己是都市人、桂正和（「電影少女」、「I’’s」的作者）是鄉巴佬」這件事不知為何非常的執著…（Ⓒ鳥山明／集英社）
圖五：「機動警察」中對於城市風貌的演變，著墨頗多，應該是押井守導演所關注的主題（Ⓒ押井守／SUNRISE）
法國的巴黎—薩克雷大學（University of Paris-Saclay）理論物理研究所的Vincent Verbavatz 與 Marc Barthelemy 兩位學者，檢視了歷史紀錄中各個都會區的人口資料，發現「都市人口排行榜」經常發生「豬羊變色」的戲碼，大都會可能暴起暴落，排名更迭。因此想要解釋人口分布，不能只著眼於自然的人口成長率，稀有、巨大衝擊性的事件所引起的劇烈人口遷徙，可能才是都市規模演化的主要原因。例如：加州的淘金熱、兩次世界大戰、大規模的天然災害等，都會引起非常規的大規模人口遷徙。
圖六：本研究的模擬結果，左圖為 1876-2015 的法國前 500 大城市人口排名，這圖的讀法是這樣：每一條連續的線代表一個城市，越內圈表示排名越前面，由此圖可以明顯看到歷史上有幾次城市排名的大洗牌（線從內圈跳到外圈，或者反過來）。中圖為傳統為了解釋Zipf’s distribution所使用的 Gabaix 模型的模擬結果，可以發現幾乎為同心圓，極少發生交叉洗牌的現象。右圖：本研究所使用的模型之模擬結果，也有如左圖歷史資料般的排名洗牌狀況。（來源：Nature）
作者採用了統計物理中的無序系統（disordered system）的動力學模擬（數學細節我們就省略了），可以得到符合實際的都市人口分布的統計結果，更重要的是在演化的過程中，也能得到人口排名偶爾會大規模洗牌的結果，此外，由於這些劇烈變動產生的效應，有時候都市人口統計會偏離基福定律。
這是過去的模型所看不到的，也為都市演進研究指出一個新方向。 這項研究發表在 11 月 8 日的「Nature」。
（就說了物理學家什麼都要管…）
#話都給我講就好 其之214
Phys.org報導：https://phys.org/news/2020-11-stochastic-equation-population-growth-cities.html
