(本文只有6000字，但花的時間破我金融類文章紀錄。妳可以選擇不看，或聽幾首歌來閱讀。)
在探索資產配置理論的道路上，Black Litterman(BL)是一道關卡。但如果各位拿下這座城，可以一舉將知識往前推進40年。
關於BL模型，網路上有很多介紹文章，不過考量到實用性和接受度，我選擇引用Bodie的Investment以及Thomas M. Idzorek, CFA的A Step-by-Step Guide to the Black-Litterman Model 當作介紹主軸，受眾數學門檻比較低。我盡量用淺顯的語言解釋，所以如果各位覺得我的文章太簡單，也歡迎自行找原始文獻。另外，我發現網路上有些作者只是單純「翻譯」文章，雖然也有幫助，但真實意義可能不大，畢竟和知識門檻相比，語言反而不是障礙。我嘗試使用三個面向來描述BL模型，先寫出公式和步驟，接著使用真實數據來輔助示範，最後附上部分推導。其實這就是我之前書中的「觀念-實戰-研究」推進風格，讀者不用整篇看完也可以有個印象。不過，萬一你不幸成為「狂派」，跟我一樣喜歡追根究底，歡迎從頭讀完、提出質疑並告訴我哪邊寫錯。
1. 我們先來回顧歷史吧。
Markowitz使用「方差-均值最優法」(MV/MVO)，奠定了人們求最佳解的方向，也畫出了效率前緣，不過這套方法面臨著眾多挑戰。首先，使用常態分布來描述波動，或使用波動來描述風險，並不完全符合股票的真實表現。再者，無限制條件下，模型可能建議大幅賣空某些資產，而當我們加入做空限制時，權重可能直接變成0。不過，最讓人困擾的問題，或許是「敏感性」。
MVO是好用，但是對於參數太敏感。往往只是小幅調整「預期報酬」，求出的權重就會出現重大變化，例如做多變做空。這不但增加了資金進出量，也違反投資者的直覺。問題出在這裡，人們想要預期資產未來的報酬非常困難，甚至有點可笑。要是我們都可以知道未來的報酬了，還需要配置資產嗎?
有學者估算了各種參數的影響程度，證實預期報酬最為敏感。(The Effect of Errors in Means, Variances, and Covariances on Optimal Portfolio Choice. Vijay Kumar. Chopra and William T. Ziemba. 1993) 他們估計，預期報酬誤差的影響力，大約是方差和協方差的「十倍」。
到了1992年，高盛資管的Fischer Black和Robert Litterman，在Bayes框架下嘗試解決這個問題。先透過權重求出預期收益率，當作先驗，再利用先驗收益得出後驗收益，最後用後驗收益回推理想權重。既然有了這個框架，人類手中便多了一套實用工具。相對於MVO，BL提供投資者導入「看法」(view)的管道，而且也把預期收益分散到不同步驟，增加修改的彈性。也就是說，比起Markowitz假設的「理性投資」世界，BL認為每個投資者都有主觀看法，這也比較符合實際狀況。順帶一提，這邊的Black，也提過Black-Scholes模型，對於選擇權定價理論有深遠的影響。
2. 我們要如何找出先驗的預期收益分布呢?
剛剛說過了，由於MVO對預期收益很敏感，可是人類依然需要一個猜想的基準，那怎麼辦? 1974年，Sharpe在Imputing Expected Security Returns from Portfolio Composition 中提出了「逆向最佳化」這種方法，把Markowitz的步驟倒過來執行。MVO透過預期報酬、共變異數(協方差)、波動(標準差)等參數，算出理想「權重」；不過逆向最佳化(優化)，則是使用權重、協方差和波動，倒推「預期報酬」。
各位可以回想CAPM和Markowitz，我們會使用其中的既有概念。如果市場是「有效」的，那麼最佳權重應該就是「市場組合」本身。既然有權重，又有協方差矩陣，我們就能夠推出組合的標準差。而在「風險厭惡」世界中，假定人類都討厭風險。這時，讓我們敢於承擔風險的因素，就是「風險補償」的報酬。換句話說，投資者的風險厭惡係數(λ)為5，那他的一分風險就要對應到五分預期報酬才合理。此時，結合CAPM對於風險(波動)和報酬的理念，我們可以利用β和風險厭惡係數，算出「隱含均衡超額收益」，並寫成矩陣形式。
Π: 隱含均衡超額收益，n×1(向量)
λ: 風險厭惡係數
Σ: 協方差矩陣，n×n
w_market: 市場組合的權重，n×1(向量)
3. 具體而言，我需要估算各資產的標準差、相關係數和共變異數矩陣。
假設我現在市場的組合，已經有了理想「權重」，我們就可以依據這些數據求出組合的標準差，而這部分之前在MVO有做過。
接著，我們放入風險厭惡係數，並根據CAPM算出「組合」的超額預期收益。
再來，我們可以利用β的概念，回推「各項資產」的超額預期收益。
接下來，還須注意「精確度」。雖然我們已經利用一個協方差矩陣，求出超額預期收益，但這些估算本身也會有「誤差」。因此，我們可以再用另一個協方差矩陣，描述這些資產的預期超額收益。假設標準差的誤差範圍是10%，那麼變異數就是1%。
4. 是時候放進投資者的主觀看法了，讓我們看看Black Litterman的公式長什麼樣子。
E[R]: 後驗的期望報酬，n×1(向量)
τ: 比例係數，代表尺度
Σ: 超額報酬的協方差矩陣，n×n(矩陣)
P: 代表各資產的K種看法，K×n(矩陣)
Ω：觀點誤差(不確定性)的協方差矩陣，因為觀點彼此獨立，所以是對角矩陣，K×K(矩陣)
Π: 隱含均衡超額收益，n×1(向量)
Q: 觀點向量，K×1(向量)
BL模型的重點就是觀點(view)，不過為了能和貝氏框架結合，這裡使用多個相關符號。
首先，對於資產預期收益的看法Q，可以是「房地產有5%報酬」的絕對觀點，或是「股票比債券多3%」的相對觀點，也可以「我沒看法」的沒有觀點，而且總數量K不拘。對於每個觀點Q，都要加上一個「我不確定」誤差ε，成為向量形式的Q+ε.
Q: 投資者對資產的觀點
ε: 看法誤差，平均是零的常態分布
接著，雖然ε不會直接進入BL框架，但是透過它的方差相關函數ω，可以組合出對角矩陣Ω。當ε越大，ω就越大，也代表越不確定。
另外，為了配合Q，我們需要另外寫出一組P矩陣，以及P的轉置矩陣，但說穿了就是簡單的「線性組合」。如果有K個觀點，又有N種組合，則P會是個K×n矩陣。至於為什麼要寫成P形式呢? 因為對於矩陣的每個「點運算」來說，都能夠適當表示相對和絕對觀點。例如，A相對B多了0.5，其實就是1×A+(-1)×B=0.5。
下一步，我們要估計觀點的方差。
最後，要建立Ω，我們把觀點結合τ。值得注意的是，由於τ用來描述不確定性，各家學者的取值意見不一，從0.05到1都有。為了方便起見，我採取Idzorek的思路，假設ω÷τ就等於觀點方差，這樣τ本身不會被直接寫進矩陣，以免除後續計算，也不影響E[R].
至此，初始輸入已完成，而後驗分布就是剛剛的公式。
由於我們假設的先驗和觀點都是常態分布，因此相乘的結果依然是常態分布，這也稱為共軛。
5. 要求得權重，我們只差一步之遙。
本質上，最終期望收益就是隱含均衡超額報酬和投資者觀點的加權平均。而透過後驗分布的期望值和變異數，就可以得到最佳的配置權重。
關於求出權重的部分，就是標準MVO，也就是Lagrange乘法和反矩陣那套了。
6. BL模型可以容納多類資產，不過為了方便「重新示範」，我引用Investment一書，且依然只用股債兩種資產，各位也不妨自行推廣。
第一步，利用Excel做出協方差矩陣，其中標準差和相關係數，是公開的歷史資料。
第二步，輸入權重，可以求得組合標準差。接著再結合投資者的風險厭惡係數，推出組合的超額預期收益。
第三步，回推各項資產的β，以及分別的超額預期收益。
第四步，參考上述資料，做出代表預估精確度的誤差協方差矩陣。
第五步，放置個人觀點，以P和Q結合，並估計誤差。
第六步，利用P求出超額預期收益Q_E，並計算Q與Q_E的差異D，以及D的變異數。
第七步，利用Bayes求出各資產的新預期收益，而後面就是傳統MVO的手段了。
雖然BL原本是商業模型，可是因為廣為流傳，讓民眾也可以輕易借助網站或軟體試算。除了上述的步驟外，讀者也可以利用Portfolio Visualizer，流程大同小異。至於熟悉程式的朋友，直接用內建Toolbox就可以快速完成，想親自手寫也可以。
7. 後面我打算分享一些「真正有趣」的內容，不過先來點輕鬆的話題吧。
回顧人類在投資領域的知識累積，Bayes和資產配置結合，產生了Black Litterman模型。然而嚴格來看，BL模型專注於求出個別資產預期「收益」，因此離資產配置領域較遠。本質上，BL利用Bayes框架求出比較符合直覺的預期報酬，然後利用MVO推出權重。因此，我更喜歡說BL是一套流程或方法，而不是一個體系。
另外，我認為在BL裡，主動投資和被動投資者難得的相遇。主動投資者的view可以透過BL影響配置比例，同時兼顧既有事實；而對於被動投資者而言，也不至於討厭和MVO有淵源的BL模型。
說到資產配置，我知道有些人嗤之以鼻，甚至認為這是有錢人的專屬玩具。可是，不管你怎麼想，資產都會以某個比例分配。更重要的，配置比例對於資產隨時間的波動率而言，影響力遠大於擇時和選股。事實上，根據我的認知，看價格進出(擇時)和挑選公司(選股)，平均而言甚至會造成虧損。我們絕大部分都是「業餘玩家」，既沒有專業知識，也沒有完整時段，所以可以站在前人的肩膀上選定資產配置策略，而不是汲汲營營的想要幹掉專業對手。
我曾在書中挑戰描述資產配置，現在我也嘗試簡述相關延伸方法。因此，如果各位觀眾有興趣，不妨繼續往下看。
8. 越來，越好玩，暈船坐小船。
觀念有了，實戰工具也會用了，現在我們應該來探究公式的起源。主觀而言，我認為使用Bayes框架的推導比較容理解，此處參考Bayesian Optimal Portfolio Selection: the Black-Litterman Approach的推論過程。
首先，看看「確定」的先驗預期報酬，我們希望協方差越小越好。
接著用Lagrange來處理，注意這裡的Σ是共變矩陣，因此轉置後不變。
先從(1)求出E(R)，代入(2)求出λ，再把λ代回(1)，求出E(R)的表達式。
另一方面，由於投資者的view包含誤差，因此我們需要使用「分布函數」來描述信心。我畫了常態分布的PDF和CDF，觀眾可以看看兩者的關係。
為了方便計算，我們假設P(E(R))和π|E(R)就是常態分布。其中Prob為機率，N代表常態分布函數。
接著，我可以觀察PE(R)的「形狀」，尤其是pdf的冪次部分。其中π_c是常數，本來就在pdf公式中，不要和預期收益π搞混。k用於方便計算。
然後把這些結果代回Bayse的公式，得到後驗結果(E(r)|π)，並將冪次部分等比縮放整理，以去掉一些係數。
我們把公式簡化，以符號替代。注意，這個步驟很像「二次配方法」，其中H和A把頭尾抓出，而C則是剩下的部分。
為什麼要這樣拆? 因為前半段是常數，而後半段可以寫回常態分布的形式。
最後，我們得到了預期收益。
關於數學推導，還有很多值得注意的細節，不過礙於篇幅，我在此簡單帶過。
例如，關於確定和不確定下的Ω=0，真的相等嗎? 各位觀眾可以尋找相關證明。另一方面，除了Bayse框架之外，也有人用「取樣」的理論來推導出預期收益和權重，像是Mathematical Derivations and Practical Implications for the use of the Black-Litterman Model。而關於「共軛」先驗，也有相關內容，值得各位一看。
9. 剛剛都在說數字，現在我定性的來談談BL模型後續發展。
和Markowitz的MVO相比，BL已經很優秀了。不但提供投資者放置觀點的渠道，也讓資產權重變化不會這麼劇烈。不過實務上，有些投資者會使用「再抽樣」的方法，讓曲線平滑化。具體而言，我們可以利用Monte Carlo模擬來擴大資料數量，計算更多潛在的資產預期報酬。有什麼差別? 大家看看資產權重比例的圖表對比就知道了。(圖片來自CFA Program Curriculum 2020 Level III)
另一方面，我們在建構輸入條件時，需要經過複雜的手續，而針對此點，Meucci發表了Beyond Black-Litterman，提供另一種更直觀的演算方式。
針對風險，有學者引入ARCH/GARCH模型，也有的使用VaR/CVaR來改善模型的文章，例如Extending Black-Litterman Analysis Beyond the Mean-Variance Framework.
既然BL和MVO有關，我們可以輕易的想到「標準差」本身。如果資產價格波動根本不是「常態分布」，所謂均值-方差優化基本教義就失效了。不過放心，你想得到，學界和業界也有人試著突破。像是Giacommeti等人的Stable distributions in the Black-Litterman approach to asset allocation，試著用穩定分布來描述波動風險，就比較合我胃口。另一個方向，也有人研究三階和四階動差(矩)，而論文名稱也很直白，例如Mean–Variance-Skewness-Kurtosis Portfolio Optimization with Return and Liquidity.
10. 狂徒，說這麼多，那你到底怎麼看Black Litterman?
我們不妨先回到資產配置的偉大航道上，看看人類的理論發展。
只要資產配置涉及到調整，就需要考量「時間」，尤其對於主動投資者來說，變動資產比例的頻率和動機，需要更完善的理論來支撐。舉個例子，CAPM是單期模型，而跨期的ICAPM就更加貼近真實投資需求。因此，「動態」資產配置的重要性也逐漸顯露，而且還吸收了一部份擇時派投資者。
另外，建議讀者也不要覺得接觸到BL模型就很厲害，這已經是30年前的古早模型。況且，目前很多程式語言都有內建的BL程式，因此就算完全不知道推論過程，投資者依然可以受益於模型的方便。真正賺錢的並非模型本身，而是適當的「觀點」，否則也是Garbage in, garbage out. 事實上，BL假設之一就是「有效市場」，而想要靠著獨到觀點擊敗市場，還需要投資者的本事夠大。
透過商業廣告，大家可能會聽到AI結合BL，而我認為這是值得探索的道路。AI提出觀點，BL運用觀點，這兩者都能有效排除人性的弱點，而且適用性很廣。無論是佛系被動投資者，還是擅長程式的量化投資者，都可以使用此組合來最大化自己的預期收益。
11. 我認為BL模型帶給人們很大的改變，但我還是對它有挑剔的地方。
原因很簡單，無論後人怎麼改變波動風險模型、推導方式和參數假設，BL都會繼承MVO的特性，其中就包括對於收益預期的解釋。也就是說，只要你繼續用β來推測預期報酬，只要你用波動來解釋風險，BL就無法避免一個問題。
「萬一市場不理性呢?」
每個投資者都應該有自己的知識體系，而讓我質疑傳統BL的最根本原因，就是對於獲利原因的看法。
如果市場非完全有效，那麼理性投資者或許可以利用人性缺陷來獲利，而這也是「行為金融」的範疇。另一方面，順著APT的脈絡，我們可以使用「多因子」來解釋收益，而非侷限於波動風險。換句話說，我們都看過身旁狂熱的市場參與者，也或許透過統計得知MVO/CAPM/BL的基本假設並不完美，所以除了修正既有模型外，往前再拓展新的理論，顯得更為理性，也更有潛在發展空間。
我很尊重研發各種理論的學者和業者，我批評BL並不是討厭它，而是看到它的改進空間。事實上，就是因為有一推人對於傳統BL不滿意，所以利用前人的知識沉澱，把模型東改西改，讓它不斷進化。在我看來，BL和多因子並不是二選一的是非題，而是目標不同的兩個研究方向。目前雖然還沒有個知名的統一理論，但是身為投資者的我們，還是可以學習這些框架，自行組合運用。
想要改善view的問題，除了利用AI之外，我們也可以使用「因子」。在之後的章節，我會提到因子分析在資產配置的應用，也就是「因子投資」的重要一環。不過先別急，在講因子投資之前，我打算先提一個分配風險的方法，也就是風險平價(risk parity)。換個口味，繼續前進。
參考資料:
- Bodie Investment
- Thomas M. Idzorek, CFA A Step-by-Step Guide to the Black-Litterman Model
- Vijay Kumar. Chopra and William T. Ziemba, The Effect of Errors in Means, Variances, and Covariances on Optimal Portfolio Choice
- Imputing Expected Security Returns from Portfolio Composition
- Portfolio Visualizer
- Bayesian Optimal Portfolio Selection: the Black-Litterman Approach(PDF)
- Mathematical Derivations and Practical Implications for the use of the Black-Litterman Model
- CFA Program Curriculum 2020 Level III
ISBN: 978-1-946-44296-3 - Extending Black-Litterman Analysis Beyond the Mean-Variance Framework
- Giacommeti等人的Stable distributions in the Black-Litterman approach to asset allocation
- Mean–Variance-Skewness-Kurtosis Portfolio Optimization with Return and Liquidity(PDF)
- A demystification of the Black–Litterman model: Managing quantitative and traditional portfolio construction
- Meucci, Beyond Black-Litterman: Views on Non-Normal Markets
- Jay Walters, CFA, The Black-Litterman Model In Detail
註: 我不是金融界的，也不是打廣告，不過我知道國內有些機構將Black Litterman和人工智能包裝在一起，各位有興趣可以看看。
另外，如果我哪裡說錯了，請大方告知。 雖然我檢查很多次了，可是我不大相信寫這堆字都不會出錯XD 哪裡看不懂的，也歡迎問我。 我應該能回答文中大部分的問題(畢竟我沒找代筆)，但我也不介意被問倒，反正我寫文章本身就是「精進」的過程。
