【數學】用國中的觀點來認識高中的神奇不等式 - 算幾不等式

先前在推特上看到一張圖滿有趣的，圖片上有兩個圓，關係為外切，還有它們的一條公切線，底下有一個不等式，稍微移項就是所謂的「算幾不等式」。

圖片如下

兩個圓探討它們的公切線，是國中講到圓的切線時的一個重點，這個證明結合了幾何圖形和不等式，是我從來沒有想過的，而且也發現可以嘗試整理成國中的延伸教材。

圖片上紅色的線段是兩個圓的圓心連線，也就是「連心線」，如果是外切，連心線的長度正好會是兩圓半徑的總和。我們將看到底下那條公切線，意思是這條線同時是這兩個圓的切線，與兩圓的交點都恰巧只有一點，這個點我們就稱為該圓的切點。

圓心和切點的連線，既同時是半徑，又同時與切線垂直，這是國中講到圓的切線時很重要的一個性質。利用這個性質，可以在原圖上畫出輔助線，並且得到隱藏在其中的直角三角形。

紅色線段已經知道長度了，而（圖二）的綠色線段剛好是大圓與小圓的半徑差，剩下的橘色線段，透過畢氏定理可以求得，剛好也就是藍色的標示部分。我們知道直角三角形的斜邊是三條邊裡最長的，所以紅色線段會大於等於藍色線段，這也就是（圖一）的結果。

到這個部分都還不會提到這個不等式的名字，但我們透過兩圓的公切線可以衍生出算幾不等式的結果，甚至能讓學生瞭解到，如果兩個圓一樣大（也就是半徑一樣），那不等式就會變成等式，這個性質也能和算幾不等式的敘述相對應。

在高中數學會有一個單元介紹到算幾不等式，這是由算數平均數和幾何平均數組成的不等式。在國中階段理論上是不會介紹的，不過這個圖形證明讓我想到也許有機會做延伸，除了介紹到這個不等式，還可以多介紹這兩個平均數。

當然高中也會介紹證明方法，和圖形的方式不同，明明是從國中幾何的觀點出發，卻能得到高中代數的一個不等式，真的很神奇。

這一篇就分享自己從一張圖得到的教學想法，並沒有很仔細的講解當中的數學推導，還請見諒，也算是練習如何用簡單的文字介紹數學給大家知道，未來會更加磨練的，感謝各位的閱讀！

圖片來源：数学を愛する会

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