【數學】用國中的觀點來認識高中的神奇不等式 - 算幾不等式

2021/10/29閱讀時間約 2 分鐘
數學專頁久違的更新,最近會盡量這裡也不要富奸(汗)
先前在推特上看到一張圖滿有趣的,圖片上有兩個圓,關係為外切,還有它們的一條公切線,底下有一個不等式,稍微移項就是所謂的「算幾不等式」。
圖片如下
(圖一)在推特上看到的算幾不等式圖形證明
兩個圓探討它們的公切線,是國中講到圓的切線時的一個重點,這個證明結合了幾何圖形和不等式,是我從來沒有想過的,而且也發現可以嘗試整理成國中的延伸教材。
圖片上紅色的線段是兩個圓的圓心連線,也就是「連心線」,如果是外切,連心線的長度正好會是兩圓半徑的總和。我們將看到底下那條公切線,意思是這條線同時是這兩個圓的切線,與兩圓的交點都恰巧只有一點,這個點我們就稱為該圓的切點
圓心和切點的連線,既同時是半徑,又同時與切線垂直,這是國中講到圓的切線時很重要的一個性質。利用這個性質,可以在原圖上畫出輔助線,並且得到隱藏在其中的直角三角形
(圖二)畫上輔助線可以得到直角三角形
紅色線段已經知道長度了,而(圖二)的綠色線段剛好是大圓與小圓的半徑差,剩下的橘色線段,透過畢氏定理可以求得,剛好也就是藍色的標示部分。我們知道直角三角形的斜邊是三條邊裡最長的,所以紅色線段會大於等於藍色線段,這也就是(圖一)的結果。
到這個部分都還不會提到這個不等式的名字,但我們透過兩圓的公切線可以衍生出算幾不等式的結果,甚至能讓學生瞭解到,如果兩個圓一樣大(也就是半徑一樣),那不等式就會變成等式,這個性質也能和算幾不等式的敘述相對應。
在高中數學會有一個單元介紹到算幾不等式,這是由算數平均數和幾何平均數組成的不等式。在國中階段理論上是不會介紹的,不過這個圖形證明讓我想到也許有機會做延伸,除了介紹到這個不等式,還可以多介紹這兩個平均數。
當然高中也會介紹證明方法,和圖形的方式不同,明明是從國中幾何的觀點出發,卻能得到高中代數的一個不等式,真的很神奇。
這一篇就分享自己從一張圖得到的教學想法,並沒有很仔細的講解當中的數學推導,還請見諒,也算是練習如何用簡單的文字介紹數學給大家知道,未來會更加磨練的,感謝各位的閱讀!
圖片來源:数学を愛する会

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