第三部分是推理證明跟三心，推理證明就不在這邊講了，原因有兩個，第一個是現在基本上不考，第二個是目前的數學教育來說，程度不夠的人去鑽研效果不好。
簡單說就是如果前面底子沒打好，證明會不知道怎麼下手，如果基礎夠牢，現在國三證明題並不會太難解決。所以請適量處理，切勿太想要弄懂而花太多時間，同學你不是只有這科要讀。
三角形的心
三角形的心當然不是什麼擬人化，而是三種做圖的結果。目前國中學過的幾何線段做圖，最常用到的為「中垂線」、「角平分線」、「中線」，這三種線在三角形上，會有一個聚集的點，稱之為三角形的心。外心：外接圓衍伸變化題，直角三角形多練習
證明跟繪圖課本都有，筆者這邊只繪製關鍵部分。
重點有2個，一為外心到三頂點等距離，二為可以做一個外接圓。到這邊後，變化題就變多了，上圖最後一個圖，可以發現此時三角形的三個邊，變成了這個圓的三條弦，進階變化題常常從這邊衍伸而來，筆者只講解切入點，題型太多無法一一贅述。如下圖：
中垂線本身就具有弦心距的性質，外接圓會讓三角形變成弦，讓此三角形出現圓心角跟圓周角，如果多一條切線，弦切角的特性就又出來。如果此三角形是直角三角形，會變得更複雜，如下圖：
斜邊會變成直徑，且圓心就是外心剛好在斜邊中點上。結合其他題目會讓難度陡升，坦白說除了勤練習外，數學中上程度以下的學生沒更好的辦法，速解、特殊解、快速學習，皆有弊無利。
內心：相對單純，直角三角形仍是進階題
第二個是內心，內心的定義，是三條角平分線的交點。如圖：
跟外心很像，但內切圓跟外接圓很不同，外心的題目變化多端，但內心就沒那麼多，大致上可變化的較少，通常切入點如下圖。
也就是用三角形面積的公式去代，大的等於綠線切的三塊三角形，且高都是內切圓的半徑r，會得到一個心的面積公式：
另一種段考常出現，不過難度說真的太高，變化起來很複雜的題目。
可看到直角三角形的內心，因為圓心到切點的連線跟切線垂直，在直角三角形中，會在左下方形成一個正方形。而且也可以看到內心到頂點連線，又可以切出兩個直角三角形。雖說這種進一步變化國中不多見，作為進階或素養題倒是不錯。
思考的慣性會誤導解題方向
這邊常見一個學生常出現的問題，就是外心是「三中垂線」，內心是「三角平分線」，導致學生習慣上，會看到外心的題目去想「邊長」，內心的則是想從「角度」切入。可實際上，外心利用的等距特性，外接圓最常出現的題目是問角度，內心則是因為面積相等，更常問底跟高的方向。
這筆者也很難解釋，只能說學生一般而言都有一些慣性，覺得「因為A所以B」，那麼外心是中垂線屬於長度，題形也會跟長度有關。這種傾向在中等程度到中上之間最容易出現，到了最前面5%學生，筆者反倒就沒看過這種思考傾向。
