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中學以下的素養教育與經驗談:國一下數學篇──一元一次不等式

更新於 發佈於 閱讀時間約 6 分鐘
每篇都要再次說明,所有的教學方法與手段,完全要看:
  1. 個人因素
  2. 社經背景
  3. 對應教材與年齡
沒有百分百適用,也不會有一招行天下的密技,最大差異在於針對個人或是多人數上課。而且不管多好的教材,只要學生本身完全沒有學習的意願,都是沒有用的,這時候就得要換其他方式,不能只看教材與方式。

一下的另一個單元,拆成一元一次不等式,還有屬於對數字敏銳度的比例與統計。這要分開講一下,首先談不等式,這跟之前的方程式有不小差距,許多同學會一下子轉不過來,尤其是正負號的轉變上。
比例還好,著重在抓住正反比的概念,統計則是要記清楚平均數、中位數與眾數的定義,以往這些放在三年級,現在提前到國一下(七年級下學期),代表教育上認為,學生早點學會基本的統計觀有好處。

一元一次不等式

總之,先從一元一次不等式開始。不等式的重點可粗分為兩個 :
  1. 求範圍而非唯一解,心態上要調整,初學者最好通通用數線思考。
  2. 不只是會求解,而能透過文字敘述了解列式與解題,意即閱讀素養。

以數線輔助抽象思考

何謂數線思考?
如上圖,不等式指的是大於、小於,或是大於等於、小於等於,指一個「範圍」。大於、小於在左邊,不包含指稱的那個點,若為大於等於、小於等於,則包含那個點。
請逐步用實際數字帶入,讓同學慢慢抓到那個感覺,例如下圖:
建議用筆塗色,實際表達出包含範圍的概念。
接著,再附加文字,出一些簡單的應用題,如下題:
範例:已知一元一次不等式 x>3,請列出最小的三個整數解。
解答:4、5、6
需要當場解釋,因為大於(>)的符號不包括該數字,所以最小的整數並非是3。然後接著立刻出大於等於3的題目如下:
範例:已知一元一次不等式 x≧3,請列出最小的三個整數解。
因為大於等於包含該數,所以 x≧3 當然是包含3,故最小整數為3。
之所以要很清楚地建立這些概念,是因為不等式很容易誤讀,尤其配合文字後,會常漏掉條件,導致算錯。要解決此問題的最佳路徑,就是在定義部份弄非常清楚,包含、不包含,是整數解或分數,很難從方程式中找到答案的,一律用數線去慢慢釐清。
這意思是,請同學把方程式整理後,發現x、y的正負相同,那麼會是一條左上到右下的斜直線,若正負號不同,會反過來從左下到右上。真的不行就不要死背了,這是一種感覺,有助於繪製圖形時,或是解題時直覺上發現不對勁的地方,再次強調不要當成祕笈去背。
因為真的有補習班會這樣教,以提高解題速度,筆者是覺得沒有必要。因為有感覺的很快就會,沒感覺的練半天只是背,不如去學其他的。
筆者的經驗裡,聯立方程式解的出來,中等程度的學生,大致上應該是不會連畫圖都亂七八糟,但值得我們去注意,或者說要學生一定得學會的概念,主要是特殊狀況,也就是「唯一解」、「無解」、「無限多組解」,這個用圖形來說最快,但也記得方程式的特性要解釋清楚。

複習運算規則理解「變號」

通常到這邊,開始會遇到一元一次不等式運算的困難,所謂的「變號」,同學會有人弄不清楚,為何乘了負數後大於小於的符號會改變,這得要靠例子去解釋。解不等式前,要先從運算規則開始,將不等式當成等式,用加減乘除一個個帶入,讓同學能體會。
筆者的意思很單純,學生的程度若無法舉一反三,就得加減乘除都表示一次,讓學生了解到「不等式兩邊做一樣的處理,結果依然會一樣」,但這「僅限於正數」。
下面四題用一樣的數字只是改為負數,再列一次結果如下:
在此,可以對同學解說,加減法的正負號,不會對不等式造成影響。但乘除法卻會,若乘除負數就需要變號。

實例來看變號的狀況

不過,應該會有不少同學,在數字上可以理解變號,但實際上無法理解為何,這邊得舉實際的例子。
範例:小明今年2月拿到一筆壓歲錢,然後他每隔1個月就花掉1000元,6月份的錢花完後,小明發現他的壓歲錢剩下2000元,請問他2月份拿到的壓歲錢是幾元?
  • 答:設壓歲錢原有x元,每個月花掉1000元,記做-1000,從6月往回推到2月,已經「過了」4個月。
  • 所以壓歲錢x=用掉的+剩下的=(-1000)×(-4)+2000=4000+2000=6000
這是一個一元一次方程式的題目,一般我們不會這樣算,而是把「用掉1000」跟「過了4個月」,只取1000跟4相成,但若跟現有的狀態相比,金錢是花掉的,時間是過去的,都是「已經消失」的部分,整體來說都是用掉,要用負號代表。
那在不等式中又要怎麼去理解?可以數線,畫成實際狀況讓同學去想,重點是想通變號,不是說每一題都得要轉個彎去畫數線,習慣後就直接變號就好。
負向的時間軸和花去的錢為何負負得正
範例:有一個蹺蹺板,左邊放了1公斤的磚塊6塊,右邊放了1公斤的磚塊4塊,倘若一次可以搬走2塊,請問如何用不等式表示,哪一邊會先拿光?
各位可以看到,生活上在使用乘除以負號時,通常都是要表達「拿走」、「失去」,而且都有單位。透過上題,我們可以發現,最後之所以得到-2次大於-3次的結論,是因為題目問的是「誰先拿光」,所以-2次就是拿走2次,-3次是拿走3次,當然就題意來說會得到這個結論。
因為,原本比較多的那一邊,用相同速率取走,當然會要比較多次,但比較多次卻在先拿走的意義上落後了。
讀者可能覺得這是詭辯,主因是太過抽象,一般人不會這樣思考,而是很直觀的覺得,左邊要拿3次,右邊拿2次,當然是右邊「次數少比較快」。但這加上負數的概念,拿走本身就是負數的意思,所以負數的數字越小,當然就越快。
我們平常不會這樣兜圈子講話,自然覺得很難理解,但如果有做金融財管的,碰到利率反推,或是推算未來的損益,也許就能很快想通。
就如同前面負負得正的範例,小明往前回推,就時間軸來說就是負的,每個月花掉的錢,對於原本有的錢來說,擁有是正的、花掉即為負,所以負負得正可以推得原本有多少壓歲錢。但一般人會這樣想嗎?通常是直接想4個月、每月1000,共花了4000,加回去就好。
當然,筆者的意思不是要各位把每個數學都具體、生活範例化,這其實不大對。數學是描述大自然的語言,如果學生的抽象能力不好,本就不適合走向高深的數理科系。
也就是說,如果每一題都得要超級具體的案例,不然無法理解純粹數學的抽象計算,那麼可能要心裡有底,知道這位同學,很可能真的不適合。筆者的經驗是,國中大概是最後階段,不能否認有人大腦到了高中才完全發育,突然打開了那扇門,但比例真的很低。
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這個概念很像是說,我們外省家庭從出生開始,就已經墊高了30分,所以整體來講有優勢,但個別優勢不明顯,還是得靠努力。儘管你不能說一個從50分努力到80分的外省人是不認真,但他自己會認知到,他本來的底是40分,靠我們外省族群的優勢,才起步比人早嗎?當然不會。
上週講到階級被打掉,階級一被打掉,原有的階級區分消失,但新的還沒有出現,也因此產生了太陽花運動中,整個當時的年輕世代(2x~3x),都很想要獲取改變世界的力量。筆者說階級被打掉是太離譜,不如說那個邊界越來越模糊,或者說認知的階級邊界已經消失,成為一個非常……呃,混雜的狀態。
分歧點這個講法,感覺好像是多恐怖還是命運的抉擇,其實沒那麼誇張啦,只是個人認為這種講法比較可以連貫。在講分歧點前,要先提一下過去,這些年筆者看過不少在講「未來」的,往往都是邏輯合理,但是……因為對「過去」解釋得不夠清楚,陷入一種「大局觀很正確」,實際狀況卻不是如此的說法。
筆者是認為,世界進入頂點後的下坡是確定的,尤其是技術領先國的美國,深陷政治正確的奪權風暴,其不穩定稍一不慎,會禍及全球。但我們沒辦法,就現狀來說,台灣該怎樣保持不往下墜,又能維持穩定,個人認為有兩個方向可以作。
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