免費午餐，風險分散與幾何平均報酬

分散風險

當風險作為報酬的前提，試著分散風險是一種合理的做法。
在風險與報酬之間的平衡，已是老生常談。
然而分散風險對於報酬會有怎樣的影響?
曾聽聞一類說法，認為分散風險不能提升報酬；
另一方面也聽說，分散風險反倒有助於報酬。

對此，貓貓希望觀察:

若將資產複製為 N 份獨立漲跌的副本，並將本金平均地分散其中，
那麼能否帶來額外報酬?

情境假設

分散風險

報酬率

對於已知的報酬率分布，可以分別計算得到算術平均以及幾何平均報酬率。

N個銅板-算術平均報酬

N個銅板-幾何平均報酬

免費的午餐

免費的午餐

觀察算術平均報酬，很顯然與銅板數量 N 無關；
而對幾何平均報酬而言，存在與銅板數量 N 相關的級數和，貢獻其中。
可以將此級數和稱作分散風險好處 BN，並觀察是否真的是好處。

分散風險好處

此時分散風險好處 BN 不少於零，確實算得上好處。
唯有 N=1 時，因 i=0 或 1 ，BN 回到零，回到起始基準。

討論

在考慮簡單的丟一個銅板情境下，我們對於結果是正面或反面沒有任何資訊可以猜得更準，僅知公平且報酬只有兩種可能。若存在其他規則相同的銅板，使得風險可以分散至 N 個銅板所丟出的 N+1 種結果，即可以獲得幾何平均報酬的提升。

在其他情境中，由於報酬分布不僅僅是簡單的公平銅板的兩種可能，並且未必有能力進行任意 N 份副本複製，使得其他情境更為複雜。與此同時，存在著不同類別的資產，使得投資者不僅僅可以分散至同類別的副本，而可以更進一步分散至不同類別中。關於不同類別資產的分散風險，可以參考資產配置、效率前緣等文章:

1. 《Efficient Frontier 是什麼？
   想知道最佳的資產配置，效率前緣告訴你答案》
2. 《什麼是效率前緣（Efficient Frontier）？
   為什麼不把投資組合按照效率前緣調成最有效率的投資組合？》
3. 《Markowitz 和效率前緣》

回到一開始的問題，分散風險與報酬間究竟有甚麼關聯？
在本篇假設中，分散風險可以提升幾何平均而非算術平均報酬率。
好在，幾何平均報酬正是貓貓所希望提升的目標。