理性混沌，風險分散、最佳槓桿以及 Newton's Fractal

在本專題先前文章《免費午餐，風險分散與幾何平均報酬》以及《無中生有或是槓桿損耗，指數與槓桿》中，貓貓藉由分散風險以及調整槓桿來個別地獲得收益，也就是兩種免費午餐。

此時，簡單的組合能否將兩份免費午餐組合成套餐?
對此，貓貓試著將兩者組合並觀察可能的結構，意外地可以引入碎形。

在 N=1 時，簡單地回到凱利公式的概念，如《為什麼報酬未必越高越好？凱利公式提示》。而此時在 N=2 的情形，即可見到有意思的極值條件。

此極值條件，可以視作一元三次代數方程式，並有公式解。然而若以數值解常見作法，以牛頓法求解，則可能在起始條件設定上，面對碎形結構。

對於 Newton's fractal，3Blue1Brown 的頻道給出了非常清晰的說明。影片中描述了牛頓法在代數方程求解的功能，並且視覺化的展示出牛頓法與 Newton's fractal 的關聯。

本文中結合分散風險與調整槓桿的優點，並試著極大化幾何平均報酬。然而在過程中，僅考慮局域極值條件，而沒有仔細確認是否為極大值。不過局域極值條件顯然為局域極大值條件的充分條件，觀察幾何平均報酬形式顯然可知。
極大值問題僅在於求出極值條件的解後，哪一個解是最佳槓桿率?
此時顯然可以帶入數值比較。

當分散風險程度更高，使得極值條件更加複雜，以至於極值條件變為高冪次的代數方程。當冪次高於5，不存在公式解。此時牛頓法顯然派得上用場，給出適當的槓桿率。

若是隨機選定起始值，使得起始槓桿率落在碎形邊界上，此時由牛頓法迭代得出的槓桿率對於細微的起始值浮動非常敏感。也就是說，在採用相同假設模型，僅有起始值受浮點誤差等細小擾動，都可能導致截然不同的最佳槓桿率結論。

當跑遍每一種解，可以藉由比較每一種極值的解，挑出合理槓桿率。然而當起始值受經驗影響，像是以歷史最佳槓桿率為起始值，便可能使多空看法相當難以預測，可能得到任何可能的極值。貓貓認為這是理性地混沌。