【自動控制】根軌跡圖
閱讀時間約 6 分鐘
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根軌跡的定義
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■根軌跡的定義
●控制系統轉移函數
●特性方程式及特性根
1.特性方程式 : 閉迴路特性方程式指其轉移函數分母為0之程式
即 1+KG(s)H(s)=0 或 1+kGH=0
亦即 1+開迴路轉移函數=0
2.特性根 : 滿足特性方程式的⎾解 ˩ , 又稱為⎾極點˩
3.特性方程式為零必然有振幅響應及相位響應
●根軌跡
K值在 -∞→+∞區間變化時
1.0<K<∞ 的特性根移動軌跡稱為根軌跡
2. -∞<K<0 的特性根移動軌跡是互補根軌跡(根都是共軛複數)
3. -∞<K<∞ 的特性根移動軌跡,稱為完整根軌跡。
是由根軌跡及互補根軌跡合成
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G(s)=|G(s)|∠G(s) 是用 Magnitude 及 Angle (Phase) 計算
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■Magnitude (振幅響應/大小法則)
開迴路轉移函數 KG(s)H(s) 可以表示為多項式形式
亦即
(s-zi) 代表zi 到s的向量
(s-pi) 代表 pi 到s 的向量
■Phase(相位響應/相位法則/角度法則)
角度之量測一律以正實軸方向為起始線,逆時針旋轉角度為正。
可用多項式表示如下
∠(s-zi) 表示由零點-zi至複變數s 之連線與實軸的夾角
∠(s-pj) 表示由極點-pj至複變數s 之連線與實軸的夾角
【例】G(s) 函數的零點極點如下圖, 請計算 s=-2+j 的 G(s)值
【Ans】(1) 計算Magnitude
(2)計算 Angle
得出計算結果為
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根軌跡作圖規則
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【規則1】 起點K=0 : 在完整根軌跡上, K=0的點即是G(s)H(s)的極點
【規則2】 終點K=±∞ :在完整根軌跡上, K=±∞的點即是G(s)H(s)的零點
【規則3】在實軸上的根軌跡被完整根軌跡佔滿,因此實軸被極點零點
切割成數段(Real-Axis Segments):
若段落右邊的零點與極點總數為奇數,則此段落屬於根軌跡
若段落右邊的零點與極點總數為偶數,則則此段落屬於互補根軌跡
下圖藍色實軸段落上的所有點就是根軌跡
【規則4】s點趨近±∞ 時的軌跡為完整軌跡線的漸進線(Asymptotes)
【規則5】根軌跡與互補根軌跡各有漸進線=| N-M|條
即完整根軌跡共有漸進2|N-M|
【規則6】漸進線與實軸的夾角
【規則7】漸進線與實數軸的交點(又稱形心)為
【規則8】完整根軌跡之分離角(Departure Angle) :
零點之到達角(Arrival Angle)的計算式為
(1) 分離角 : 根軌跡離開⎾複數極點PJ點˩的角度
(2)到達角 : 根軌跡到達⎾複數零點ZJ點˩的角度
對於開迴路環傳遞函數在 s = -2, -1 + j1 ,-1-j1處有 M=3 個極點。
在 s = -1 處有 N=1 個零。
根軌跡存在於實軸上的-1 和 -2
◎分離角
圖中的上半部分離角角度以灰色顯示。
依據實軸對性可映畫出下半部。
◎到達角
開迴路增益中沒有複數零點，因此沒有到達角。
【規則9】根軌跡與虛軸的交點(臨界穩定的K值)
在s平面上與虛軸的交點及對應的K 值, 可用
羅斯表 (Routh tables)求解
【規則10】分叉點(Breakaway Points/ Saddle points)
特性方程式有多重跟出現的點即為分叉點的位置
特性方程式 1+G(s)H(s)=0 其完整根軌跡的分叉點 必須滿足
的解, 可得出根軌跡的分叉點有二:
(1)分叉點(Breakaway point): 根軌跡由實數軸進入複數平面的點
會合點(Break-in point): 根軌跡由複數平面進入實數軸的點
(2)若s1 為一分離點,則該點的 K 值為
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根軌跡作圖--- 範例
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(4)根軌跡的漸進線與實軸的交點及夾角分別計算如下:
(5)漸進線條數
根軌跡共有三條分支經過-4 , 夾角分別為 60度,180度,300度
(6)根軌跡與虛軸的交點
(7)分叉點
(8)繪製根軌跡圖如下:
【TIPS】線上自動繪製根軌跡
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利用MATLAB繪製根軌跡圖
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【例 1】請用Matlab繪製下列開迴路轉移函數的根軌跡圖
經執行後得出根軌跡圖為
【例 2】有一控制系統如下圖,請用Matlab繪製根軌跡並計算
K值下的極點
繪製跟軌跡需先求出特性方程式找到閉迴路的極點, 因此
列出方塊圖的閉迴路轉移函數為
編寫Matlab 腳本繪製根軌跡如下
利用Matlab 腳本將 K 從 0 變為無窮大，以計算閉迴路特性方程的極點
【視頻】Find Range of Gain K For Stability Using Root Locus Plot
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