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根軌跡的定義及解讀
=============================================●控制系統轉移函數的特性方程式及特性根
1.閉路系統增益K的轉移函數圖為
則其閉路轉移函數
稱 Δ(s)=1+KG(s)H(s)=0為特性方程式
其G(s)H(s)稱為開路轉移函數,可表示為
2.當轉移函數分子項使G(s) →0之s值 的點,稱為零點(即是轉移函數分子的根)。
3.當轉移函數分母項使使G(s) →∞之s值的點,稱為極點(即是轉移函數分母的根)。
●根軌跡
在閉路控制系統中K值調變設計產生系統零點與極點在s平面上移動的軌跡稱為
「根軌跡 (Root Locus)」。
K值在 -∞→+∞區間變化時
1.0<K<∞ 的特性根在S平面上的移動軌跡,稱為根軌跡。
2. -∞<K<0 的特性根在S平面上移動軌跡,是互補根軌跡(根都是共軛複數)。
3. -∞<K<∞ 的特性根在S平面上移動軌跡,稱為完整根軌跡,是由根軌跡及互補根軌跡
合成。
在閉迴路系統中,若其特性方程式為一次或二次時,根軌跡可直接求解特性根,來描繪出
根軌跡。
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G(s)=|G(s)|∠G(s) 是用 Gain 及 Angle (Phase) 計算
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■Magnitude (振幅響應/大小法則)
開迴路轉移函數 KG(s)H(s) 可以表示為多項式形式
亦即
(s-zi) 代表zi 到s的向量
(s-pi) 代表 pi 到s 的向量
■Phase(相位響應/相位法則/角度法則)
角度之量測一律以正實軸方向為起始線,逆時針旋轉角度為正。
可用多項式表示如下
∠(s-zi) 表示由零點-zi至複變數s 之連線與實軸的夾角
∠(s-pj) 表示由極點-pj至複變數s 之連線與實軸的夾角
【例】G(s) 函數的零點極點如下圖, 請計算 s=-2+j 的 G(s)值
【Ans】(1) 計算Magnitude
(2)計算 Angle
得出計算結果為
●解讀根軌跡圖：
1.開環極點和零點：根軌跡圖上，“X”表示開環極點，“O”表示開環零點。
2.根軌跡：粗實線表示根軌跡，它代表了閉環系統極點隨增益參數變化而移動的
路徑。
3.增益方向：箭頭表示增益參數增加的方向。
4.穩定性和動態性能：
(1)穩定性判斷：如果根軌跡全部位於複平面的左半部分（S平面），則系統在
所有增益下都是穩定的。
如果根軌跡有部分或全部進入右半部分，則系統在特定增益下
是不穩定的。
(2)動態性能分析：根軌跡與虛軸的交點對應著臨界穩定點，通過分析根軌跡在
複平面上的分佈，可以推斷系統的阻尼比、超調量、上升時間
等動態性能指標。
(3)根軌跡離虛軸越遠，阻尼比越大，系統越穩定；反之，則越不穩定。
(4)根軌跡越靠近虛軸，超調量越大，系統越容易產生振盪。
(5)根軌跡的形狀和長度可以反映系統的響應速度。
●零點跟極點調整對控制系統的影響
1.零點：當系統輸入幅度不為零且輸入頻率使系統輸出為零時，此輸入頻率值即為零點。
當開路轉移函數G(s)H(s)加入零點後,根軌跡會往左偏, 可改善或消除穩態誤差。
2.極點：當系統輸入幅度不為零且輸入頻率使系統輸出為無窮大（系統穩定破壞，
發生振盪）時，此頻率值即為極點（共振（固有）頻率）。
(1) 當開路轉移函數G(s)H(s)中加入極點後,根軌跡會往右偏(穩定度變差)。
(2) 當開路轉移函數G(s)H(s)中加入極點越多, 根軌跡越往右移(穩定度越差)。
(3) 當開路轉移函數G(s)H(s)中加入的極點越靠近虛軸, 根軌跡越往右移
(穩定度越差)。
3.一個開環線性時不變系統是穩定的，如果：
（1）對於連續時間系統，複s平面上的所有極點都必須在左半平面（藍色區域）
內以確保穩定性。如果不同的極點位於虛軸上，即極點的實部為零，
則系統邊緣穩定。
（2）對於離散時間系統，複z平面中的所有極點必須位於單位圓（藍色區域）內。
如果系統有一個或多個位於單位圓上的極點，則系統是邊緣穩定的。
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根軌跡作圖規則
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【規則1】 起點K=0 : 在完整根軌跡上, K=0的點即是G(s)H(s)的極點
【規則2】 終點K=±∞ :在完整根軌跡上, K=±∞的點即是G(s)H(s)的零點
【規則3】在實軸上的根軌跡被完整根軌跡佔滿,因此實軸被極點零點
切割成數段(Real-Axis Segments):
若段落右邊的零點與極點總數為奇數,則此段落屬於根軌跡
若段落右邊的零點與極點總數為偶數,則則此段落屬於互補根軌跡
下圖藍色實軸段落上的所有點就是根軌跡
【規則4】s點趨近±∞ 時的軌跡為完整軌跡線的漸進線(Asymptotes)
【規則5】根軌跡與互補根軌跡各有漸進線=| N-M|條 即完整根軌跡共有漸進2|N-M|
【規則6】漸進線與實軸的夾角
【規則7】漸進線與實數軸的交點(又稱形心)為
【規則8】完整根軌跡之分離角(Departure Angle) :
零點之到達角(Arrival Angle)的計算式為
(1) 分離角 : 根軌跡離開⎾複數極點PJ點˩的角度
(2)到達角 : 根軌跡到達⎾複數零點ZJ點˩的角度
對於開迴路環傳遞函數在 s = -2, -1 + j1 ,-1-j1處有 M=3 個極點。
在 s = -1 處有 N=1 個零。
根軌跡存在於實軸上的-1 和 -2
◎分離角
圖中的上半部分離角角度以灰色顯示。
依據實軸對性可映畫出下半部。
◎到達角
開迴路增益中沒有複數零點，因此沒有到達角。
【規則9】根軌跡與虛軸的交點(臨界穩定的K值)
在s平面上與虛軸的交點及對應的K 值, 可用羅斯表 (Routh tables)求解
【規則10】分叉點(Breakaway Points/ Saddle points)
特性方程式有多重跟出現的點即為分叉點的位置
特性方程式 1+G(s)H(s)=0 其完整根軌跡的分叉點 必須滿足
的解, 可得出根軌跡的分叉點有二:
(1)分叉點(Breakaway point): 根軌跡由實數軸進入複數平面的點
會合點(Break-in point): 根軌跡由複數平面進入實數軸的點
(2)若s1 為一分離點,則該點的 K 值為
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根軌跡作圖--- 範例
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(4)根軌跡的漸進線與實軸的交點及夾角分別計算如下:
(5)漸進線條數
根軌跡共有三條分支經過-4 , 夾角分別為 60度,180度,300度
(6)根軌跡與虛軸的交點
(7)分叉點
(8)繪製根軌跡圖如下:
【TIPS】線上自動繪製根軌跡
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利用MATLAB繪製根軌跡圖
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【例 1】請用Matlab繪製下列開迴路轉移函數的根軌跡圖
經執行後得出根軌跡圖為
【例 2】有一控制系統如下圖,請用Matlab繪製根軌跡並計算
K值下的極點
繪製跟軌跡需先求出特性方程式找到閉迴路的極點, 因此
列出方塊圖的閉迴路轉移函數為
編寫Matlab 腳本繪製根軌跡如下
利用Matlab 腳本將 K 從 0 變為無窮大，以計算閉迴路特性方程的極點
■如何解讀根軌跡圖：
1.開環極點和零點：根軌跡圖上，“X”表示開環極點，“O”表示開環零點。
2.根軌跡：粗實線表示根軌跡，它代表了閉環系統極點隨增益參數變化而移動的
路徑。
3.增益方向：箭頭表示增益參數K增加的方向。
4.穩定性和動態性能：:
(1)穩定性判斷：如果根軌跡全部位於複平面的左半部分（S平面），則系統在
所有增益下都是穩定的。
如果根軌跡有部分或全部進入右半部分，則系統在特定增益下
是不穩定的。
(2)動態性能分析：根軌跡與虛軸的交點對應著臨界穩定點，通過分析根軌跡在
複平面上的分佈，可以推斷系統的阻尼比、超調量、上升時間
等動態性能指標。
(3)根軌跡離虛軸越遠，阻尼比越大，系統越穩定；反之，則越不穩定。
(4)根軌跡越靠近虛軸，超調量越大，系統越容易產生振盪。
(5)根軌跡的形狀和長度可以反映系統的響應速度。
【TIPS】零點極點的特性及其調整對控制系統的影響
1.零點：當系統輸入幅度不為零且輸入頻率使系統輸出為零時，
此輸入頻率值即為零點。
當開路轉移函數G(s)H(s)中加入零點後,根軌跡會往左偏, 可改善或
消除穩態誤差。
2.極點：當系統輸入幅度不為零且輸入頻率使系統輸出為無窮大（系統穩定破壞，
發生振盪）時，此頻率值即為極點（共振（固有）頻率）。
(1) 當開路轉移函數G(s)H(s)中加入極點後,根軌跡會往右偏(穩定度變差)。
(2) 當開路轉移函數G(s)H(s)中加入極點越多, 根軌跡越往右移,穩定度越差。
(3) 當開路轉移函數G(s)H(s)中加入的極點越靠近虛軸, 根軌跡越往右移,
穩定度越差。
3.一個開環線性時不變系統是穩定的，如果：
（1）對於連續時間系統，複s平面上的所有極點都必須在左半平面（藍色區域）
內以確保穩定性。如果不同的極點位於虛軸上，即極點的實部為零，
則系統邊緣穩定。
（2）對於離散時間系統，複z平面中的所有極點必須位於單位圓（藍色區域）內。
如果系統有一個或多個位於單位圓上的極點，則系統是邊緣穩定的。
【視頻】自動控制_毛偉龍_根軌跡與複數平面概念
【視頻】自動控制_毛偉龍_單元九 根軌跡分析(II)_Part C 根輪廓圖繪製
【視頻】Find Range of Gain K For Stability Using Root Locus Plot
