AI時代系列(3) 機器學習三部曲: 🔹 第一部：《機器學習 —— AI 智慧的啟航》
21/100 第三週：監督學習（回歸）
21.線性回歸 📈 最基本的機器學習模型，適合預測連續數據（如房價）！
監督學習（回歸） 的第一部分，將介紹 線性回歸（Linear Regression），它是機器學習中最基本且重要的模型之一。適合用來預測連續數據，如 房價、收入、溫度、銷售額 等。
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📌 線性回歸（Linear Regression）
線性回歸 是 最簡單的機器學習模型，它假設輸入特徵與輸出之間存在線性關係，並使用一條直線來擬合數據。
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1️⃣ 線性回歸的基本概念
🎯 目標
找出一條最佳直線來預測連續變數 y，滿足：
y=wX+b
其中：
• y 是 目標值（預測值）
• X 是 輸入特徵
• w 是 權重（斜率）
• b 是 截距（bias）
示例：預測房價 假設 X=房屋面積（平方公尺），y=房價（萬元）：
房價=5000×面積+10
這表示：
• 每增加 1 平方公尺，房價增加 5000 萬元
• 當面積為 0，房價為 10 萬元（截距）
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2️⃣ 如何尋找最佳直線？
使用最小二乘法（Least Squares Method） 來找到最佳的 w 和 b，讓預測值 y^與實際值 之間的誤差最小。
誤差衡量方式：均方誤差（MSE）
均方誤差的文字描述可以這樣表達： 「先計算每筆資料的『預測值減實際值』之差，再將這些差值平方後求平均，就是均方誤差。」
目標：調整 w,b 讓 MSE 最小化。
方法：
• 解析解（Closed-form Solution）：直接計算最優解（適用於小數據）
• 梯度下降（Gradient Descent）：反覆調整 w,b（適用於大數據）
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3️⃣ Python 實作：簡單線性回歸
我們使用 sklearn 來建立 線性回歸模型，並用它來預測房價。
✅ (1) 生成數據
python
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.linear_model import LinearRegression
# 產生隨機房屋面積數據（平方公尺）
np.random.seed(42)
X = np.random.randint(20, 200, size=(50, 1)) # 房屋面積
y = 5000 * X + 10000 + np.random.randint(-50000, 50000, size=(50, 1)) # 房價（加入隨機噪聲）
# 繪製數據點
plt.scatter(X, y, color='blue', alpha=0.5, label="真實數據")
plt.xlabel("房屋面積（平方公尺）")
plt.ylabel("房價（萬元）")
plt.title("房價 vs. 房屋面積")
plt.legend()
plt.show()
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✅ (2) 訓練線性回歸模型
python
# 創建線性回歸模型
model = LinearRegression()
# 訓練模型
model.fit(X, y)
# 獲取最佳參數
w = model.coef_[0][0] # 斜率
b = model.intercept_[0] # 截距
print(f"線性回歸方程：房價 = {w:.2f} * 面積 + {b:.2f}")
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✅ (3) 預測與視覺化
python
# 預測房價
y_pred = model.predict(X)
# 繪製回歸線
plt.scatter(X, y, color='blue', alpha=0.5, label="真實數據")
plt.plot(X, y_pred, color='red', linewidth=2, label="預測直線")
plt.xlabel("房屋面積（平方公尺）")
plt.ylabel("房價（萬元）")
plt.title("線性回歸模型")
plt.legend()
plt.show()
📌 結果： 一條紅色直線擬合數據，代表模型的預測結果。
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4️⃣ 模型評估
為了評估線性回歸的表現，我們使用 R² 決定係數（R-squared） 和 均方誤差（MSE）。
python
from sklearn.metrics import mean_squared_error, r2_score
# 計算 MSE
mse = mean_squared_error(y, y_pred)
# 計算 R² 分數
r2 = r2_score(y, y_pred)
print(f"MSE（均方誤差）：{mse:.2f}")
print(f"R² 決定係數：{r2:.4f}")
📌 R²（決定係數）
• 範圍：0 ~ 1
• 越接近 1，模型擬合效果越好
• 若 R² 很低，可能需要增加特徵或考慮非線性模型
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線性回歸的優缺點
🎯 優點
✅ 簡單易懂，計算效率高
✅ 結果具有可解釋性（每個特徵的影響力明確）
✅ 適用於數據線性關係明顯的問題
⚠ 缺點
❌ 無法處理非線性關係（如房價 vs. 需求變化）
❌ 容易受異常值影響（Outliers）
❌ 假設數據無共線性（多個變數不應該高度相關）
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📌 結論
✅ 線性回歸是機器學習中最基本的回歸模型
✅ 適用於預測「連續數據」，如 房價、銷售額、溫度
✅ 可擴展為多元線性回歸來處理多個變數
✅ 若數據呈非線性關係，需考慮 多項式回歸或決策樹回歸
🚀 下一步：深入探索多元回歸模型！ 🎯
