📘《AI 時代系列（6）：進階通訊工程——邁向 2035 年太空星鏈網路時代》
📘 第 3 周 🎶 電波的語言：調變、編碼與 6G 高頻革命
**25／100｜卷積碼 🌀 早期可靠編碼的主力
—— LTE 以前的星級 FEC × Viterbi 的最佳拍檔**
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🌟 單元導讀｜卷積碼是什麼？為什麼重要？
在今天 LDPC／Polar 充滿 5G/6G 世界之前，
整個 2G → 3G → LTE 前期，
無線通訊界真正的主力 FEC 是：
🚀 卷積碼（Convolutional Code）
它是：
• 行動通訊（GSM / WCDMA / HSPA）主力編碼
• 衛星通訊、航太、深空通訊（NASA）長年愛用
• 與 Viterbi 解碼 搭配堪稱經典組合
• 也是現代 Turbo Code、Polar、LDPC 的前身與基礎
雖然 5G 已把它淘汰，但它的重要性更像：
📌 沒有卷積碼，就沒有今天的 Turbo、LDPC、Polar。
📌 你不懂卷積碼，就無法真正理解 FEC 的演進。
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🌀 一、卷積碼的核心概念
📌 Block Code（區塊碼） vs. Convolutional Code（卷積碼）
1. 區塊碼（Block Codes）
• 運作方式：
✔ 將資料分成一段一段（block-by-block）獨立編碼
✔ 每個區塊彼此沒有關聯
• 記憶性：
✔ 無記憶（Memoryless）
✔ 編碼結果只依賴該一段資料本身
• 代表技術：
✔ Reed–Solomon（RS）
✔ LDPC（Low-Density Parity-Check）
✔ BCH Codes
• 通訊實務位置：
✔ 5G/6G 的 數據信道主力：LDPC
✔ 衛星/光纖/儲存常用 RS
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2. 卷積碼（Convolutional Codes）
• 運作方式：
✔ 將資料視為一整條序列 持續流入編碼器（streaming）
✔ 現在的比特會受到之前的比特影響 → 具有“記憶”
• 記憶性：
✔ 有記憶（Stateful）
✔ 狀態由移位暫存器（shift register）記錄
• 代表技術：
✔ Convolutional Code（Rate 1/2, 1/3 …）
✔ Viterbi Decoder（最佳 ML 解碼）
✔ Turbo Code（由兩個卷積碼組成）
• 通訊實務位置：
✔ 4G LTE 主力：Turbo Code
✔ 控制信道（傳統）：Convolutional + Viterbi
✔ 5G NR 控制信道：Polar Code（非卷積，但概念類似 sequence-based）
卷積碼最關鍵的特色：
✔ 有記憶性（memory）
✔ 輸出取決於「目前 input」+「之前數個 input」
✔ 表示成：移位暫存器 + XOR 網路
因此卷積碼是“序列型 FEC”。
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📟 二、卷積碼編碼器的結構：Shift Register + XOR
最基本的結構：
input → [D] → [D] → [D]
│ │
+--⊕---+
│
output1 = XOR(目前 + 1段記憶)
output2 = XOR(目前 + 2段記憶)
這個最基本的卷積碼結構利用串接的三個 1-bit delay（D） 形成編碼器的記憶，每輸入一個 bit，整串寄存器向後移動；輸出端依照 generator taps 取得目前 bit 與前面記憶位元做 XOR，例如第一輸出取「目前 + 第一段記憶」，第二輸出取「目前 + 第一段 + 第二段記憶」，因此每輸入 1 bit 即輸出 2 個 parity bit，形成典型的 rate 1/2、K=3 的卷積碼。
其中：
• 每個 D 表示 delay（1-bit 記憶）
• 多組 XOR 表示不同生成多項式（generator polynomial）
✔ 編碼率（Rate）
最經典：
Rate = 1/2
輸入 1 bit → 輸出 2 bits。
✔ 記憶階數（Constraint Length K）
K = shift register 長度 + 1（包含 current bit）
例如 K = 3：
x[n], x[n−1], x[n−2]
越大 K：
• 編碼性能 ↑
• 解碼複雜度 ↑（Viterbi 比較重）
📘 工程重點
卷積碼 = input bit 加入移位暫存器形成記憶，按 generator polynomial 做 XOR，得到多個 parity 輸出。解碼用 Viterbi 找最可能序列。
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📡 三、生成多項式（Generator Polynomial）
經典卷積碼（Rate 1/2, K=3）：
g1 = 111 (八進位 7)
g2 = 101 (八進位 5)
代表：
• output1 = x[n] ⊕ x[n−1] ⊕ x[n−2]
• output2 = x[n] ⊕ x[n−2]
卷積碼就是利用這種 組合 XOR
讓每個 output bit 同時包含多個時間點的資料
→ 增加可靠度。
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🧭 四、卷積碼為什麼“可靠”？
因為產生了時間上的冗餘（temporal redundancy）。
在 Rayleigh 衰落、多路徑、低 SNR 的無線環境中：
• 某些 bit 會被破壞
• 但不會連續破壞 K 個 bit
• 因此 Viterbi 可以找出最接近的路徑
• 最終重建原訊號
也就是：
📌 卷積碼把 bit 做時間交織（time diversity）。
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🧠 五、Viterbi 解碼：卷積碼的靈魂
卷積碼和 Viterbi 幾乎是不可拆的。
Viterbi 是什麼？
📌 以最大概似 (ML) 找出最可能的狀態路徑。
卷積碼本質是一個有限狀態機（FSM），
每個 bit 對應：
• 狀態（shift registers）
• 輸出（XOR 結果）
Viterbi 在「狀態樹」（trellis）上選擇：
👉 代價最小（或似然最高）的路徑。
⭐ 優點
✔ ML 最佳解
✔ 對 Rayleigh 衰落特別強
✔ 收斂穩定
✔ 可硬體化（中華電信基地台早期都用硬體 Viterbi）
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🛰️ 六、卷積碼為什麼被 5G 淘汰？
原因很清楚：
❌ 1. 低效率（遠不如 LDPC/Polar）
卷積碼距離香農界限較遠
效能無法隨 code 長度提升而逼近極限。
❌ 2. Viterbi 解碼複雜度太高
複雜度 ~ 2^(K−1)
K 大時爆炸。
❌ 3. Turbo、LDPC 更強
卷積碼是 Turbo Code 的核心（Recursive Convolutional Code），
但“本體”被取代。
❌ 4. 不適合 5G 超大資料量
5G eMBB 的 code block 遠大於 3G。
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🚀 七、卷積碼在 6G / NTN（非地面網路）仍有價值？
你可能會驚訝：
📌 在衛星與深空通訊，卷積碼仍大量存在。
尤其：
• 低速控制訊號（control channel）
• 高可靠度鏈路（telemetry）
• LEO/衛星回傳（uplink）
• 航太、火箭、無人機
因為：
✔ Viterbi 非常穩定
✔ 錯誤傳播小
✔ 低資料率時效率損失不大
✔ 可在極低 SNR 下運作（比 LDPC 好調教）
在 NASA，有些任務甚至仍用：
🚀 卷積碼 + Reed–Solomon 綜合編碼
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🧩 八、ASCII：卷積碼編碼器（Rate 1/2, K=3）
x[n] →──●──────●──────●───→ shift registers
│ │ │
│ │ │
output1: ⊕──────⊕──────⊕──── (111)
output2: ⊕──────────────⊕──── (101)
這個卷積碼編碼器以三個串接的 1-bit shift register 形成長度 K=3 的記憶，輸入 bit 𝑥[𝑛]依序灌入並推動整串寄存器移動；兩個輸出各依照生成多項式選取不同的 tap 做 XOR：第一輸出使用 (111)，即「目前 bit + 第一段記憶 + 第二段記憶」全部相加；第二輸出使用 (101)，只取「目前 bit + 第二段記憶」。因此每輸入一個 bit，同時產生兩個 parity bit，構成典型的 rate 1/2 卷積碼。
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📝 九、單元測驗
（1）卷積碼最大的特性是什麼？
卷積碼最大的特性是 具備記憶性（memory）。
它的輸出不只依賴當下輸入的 bit，還會受到先前多個 bit（由 shift register 保存）共同影響。
因此，卷積碼能利用「過去資訊」做更好的錯誤檢測與糾正，這也是其名字 convolutional 的由來。
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（2）卷積碼最常用的解碼器是？
卷積碼的標準解碼器是 Viterbi decoder。
Viterbi 使用 trellis（狀態圖）進行 MLSE（Maximum Likelihood Sequence Estimation），從所有可能的輸入序列中找出最可能的一條路徑。
因為效能穩定、架構成熟，它成為卷積碼 50 年來的基本解碼器。
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（3）卷積碼 Rate = 1/2 表示什麼？
Rate = 1/2 表示 每輸入 1 個 bit，就會輸出 2 個 parity bits。
也就是說，實際輸出的資料量是輸入的兩倍，這同時代表更強的錯誤保護。
Rate 越低，保護力越強，但頻寬開銷越大。
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（4）卷積碼的 constraint length K 代表什麼？
Constraint length K = shift register 的長度 + 1，是衡量編碼器「記憶深度」的參數。
K 越大，表示 encoder 能利用更長的一段歷史 bit 來生成 parity，因此效能更好，但也會大幅增加解碼端的計算量與硬體複雜度。
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（5）Viterbi 解碼複雜度與什麼有關？
Viterbi 的複雜度與 trellis 狀態數 = 2^(K−1) 成正比。
當 K 增加一格，解碼複雜度便「倍數爆炸」。
因此實務上常選擇 K=3、K=7（NASA 經典）這類在效能與複雜度間取得平衡的配置。
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（6）為何卷積碼仍在 NTN/衛星通訊中使用？
在衛星、NTN、深空、低 SNR 環境中，卷積碼仍非常有價值，原因包括：
✔ 短封包效能佳（LDPC 在短 block 長度下效率不高）
✔ Viterbi 解碼穩定、可預測，不易爆炸
✔ 記憶小、硬體需求低，適合衛星 payload、低功耗設備
✔ 錯誤傳播比 Turbo/LDPC 小，適合控制信令
✔ 標準成熟，容易調教，對 LEO/GEO 的高動態環境更具實務優勢
因此在今天的 NTN，卷積碼依然負責：
📡 控制信道（CCH）
📡 遠端管理與同步訊號
📡 低速備援通道
📡 超低 SNR Deep Space link
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🌟 十、小結
📌 卷積碼是無線通訊史上的真正英雄。
它讓 2G/3G/航太都能可靠運作，
即使 5G/6G 已轉向 LDPC / Polar，
卷積碼仍是理解 FEC 的絕對基礎。
一句話：
懂卷積碼，才能看懂 Turbo、LDPC、Polar 的靈魂。
