一場 MBA 課上百玩不膩的賭局—聊商業思維與邏輯

無限循環的賽局：每個人各有不同的思考分析

好吧，其實應該看得出來：既然是大家的平均，這題便沒有舉世公認的標準答案。即便沒有正確答案，我們還是可以做個簡單的分析：

• 既然數字只能在 1-100 內選擇，那答案只能這 100 個數字以內。所有人都純亂數從 1-100 選的話平均會是 50，答案會是 50 * 2/3 = 33
• 平均的最大值是 100，答案是所有數字的 2/3 ，所以答案不可能超過 67。既然不可能超過 67 的話，有腦想贏的人就不會選超過 67 以上。
• 假設所有人都亂數從 1-67 選，最大平均是 67，答案應該不超過 67 * 2/3 = 44
• 但大家不可能全部都猜最大值，正常人大概不會猜超過 44。那麼假設所有人平均猜 44 ，答案則是 44 * 2/3 = 29...
• 既然答案是 29，那我也猜 29。但如果大家都猜 29 ，那答案會是 29*(2/3)=19.3 ...

發現了嗎？這是一個無限循環，當大家思考越多層時，正確數字便會以 2/3 的比例不斷的收斂。

於是教授調查了「有沒有人選 1 的？」大多是班上數學系畢業或是學基礎科學的，看起來就很聰明反應很快的美國同學。教授解釋了：

規定不能選 0 ，那 1 就是理論上最可能正確的數字。

經濟學假設人都是理性的，大家都要追求最大的利益。在最極端的狀況下，大家知道會收斂，所以所有人都選 1 ，結果正確答案會是 1 * (2/3) = 0.67 。所有人都同樣接近平分獎勵，大家都勝利。雖然平分獎勵不高，但如果你選其他的，中獎機率和期望值可能更低。

所以說選 1 是很聰明的，因為你知道數字會無限變小。但是無法說你有「商業敏銳度」，因為你假設所有人都跟你一樣聰明；但事實上不可能所有人都把這個思考流程跑一遍的，肯定會有人脫隊。

「有沒有人選 50 以上的？」

班上大多是人文科系畢業的學生舉手了。他們說沒為什麼理由，就覺得大家不會想這麼多。而且對很多美國人來說，乘以 2/3 是一個需要拿紙筆好好計算的公式，有些人甚至選了 55、60 之類的數字。

「有沒有人選 67 以上的？」

班上平時鬼靈精怪的同學舉手了。

他說了：「沒有啊！我就覺得感覺大家大概都會往小的選，我就是不管別人，走自己的路，搞不好有什麼有趣的事情！蛤？不可能超過 67 嗎？好吧，至少我賺到一次發言機會？助教可以幫我加分嗎？」

「最後答案是 22。」

教授公布了這次的賭盤。

為什麼教授可以猜得這麼準？

教授進一步說明了他的思考邏輯：

有很多因素會影響我的猜測。譬如每年入學考試 GMAT 分數不斷提高，讓我對於你們數學基礎比較有信心了，大家會願意想比較多層，會讓數字變小。

如果今天我把乘的數字換成 3/5 ，或是可以從 1-125 選擇，猜會怎麼樣？數學上一樣會收斂為 1 ，但因為比較複雜，很多人來不及算或是懶得算了，所以數字可能會更高。

另外我刻意不留時間給大家思考，這樣的話會讓數字沒這麼小。我曾經實驗讓同學發一次言，有人說「不要選 67 以上」，有人說「會一直變小」，這些是公開資訊，給更多提示都會讓大家越選越小。如果我今天說最接近可以得100塊，大家也會往更小的選。

更重要的是，你們一定覺得這活動好像似曾相識吧？沒錯，我知道你們上禮拜在行銷課上玩過了。洞察市場是很重要的！我猜那時候答案是 29-30 左右，所以這次至少會往下收斂一層。20 左右會是正確答案。

你猜對了嗎？

誰能參透群眾的心理？

這個實驗名為 2/3 of average，值得一玩再玩。因為幾乎是要判斷每個參與者會往可能情況「想幾步」。不管玩幾次也沒人保證能猜到正確答案。這個問題有些教材會把它當作賽局理論的第一課，但學術理論只能用來解釋：有些賽局就是沒有必勝策略。

因為這其實是一個偽裝成數學問題的商業市場問題，甚至是群眾心理學問題。

有可能的正確答案是什麼呢？在沒有限制人數參與和思考時間下，大家認為 20 夠低了嗎？還是 15？還是數字真的會收斂為 1 呢？

丹麥的一家報紙曾經舉辦網上賭局，全球將近兩萬人參與，結果答案是 21.6，也就是大家猜的平均是 32.4 ，約等於 100 * (2/3)^2.7。收斂了 2.7 次，代表大家覺得彼此會往前想 2.7 步。

如果我們真的舉辦這樣的賭局，下注一次 100，贏者平分獎勵，這一局玩還是不玩？

這套邏輯可以套用到商業經營，甚至投資預測——因為股價正是所有人對於公司價值未來的心理投射。而判斷時機進出，就如同判讀全球投資人心理一樣，有千百萬種因素影響。投注本身也會像遊戲影響平均一樣，影響市場的交易量。如果財力雄厚，甚至可以像索羅斯狙擊貨幣一樣強迫把數字拉高拉低。正確數字彷彿隨機漫步在可能的範圍中。

賭盤蘊含的商業思維

在市場上的商業思維也正如同此局。除了最簡單的賽局分析（會發現沒有均衡點）以外，沒有一套理論可以教導我們真正的點會落在哪裡。在理工科的世界裡，許多公理定理都是非一則零，按照公式無法處理不完整的資訊片段。而許多時候，沒有資訊的情況下，仍要求我們做出判斷。

商業的學習雖然沒辦法讓我們百戰百勝，但可以在缺乏資訊的時候，仍能做出雖不中亦不遠矣的研判。只要市場不是贏者全拿，便有研究的價值。一句話就可以解釋的遊戲規則裡，如果我們試圖用商業方法與概念來理解，可能會有以下幾種分析方法：

• TAM vs. SAM：有多少人參加這賭局？他們是我們競爭對手，同時也是把市場的餅一起做大的夥伴。吸引不到夠多的玩家，不把市場做大，總彩金不夠高就沒什麼賺頭。然而參與人數少，不小心猜到最準的機會也變大了！這是個商業決策：投資早期成本來教育市場，或是投入競爭焦土戰搶市佔率的問題。

• Competitive Landscape ：參加這次賭局的，有多少比例是經驗老到的「高玩」？他們會選接近小的數字。猜 1 的玩家，如同推出了功能複雜，遠超過使用者需求的產品，注定不會勝利。自己公司產品即使功能不及對手，卻可能還有機會靠市場的時機，達到 Product Market Fit 來勝出！
• Market Adoption & Stats：使用者對於規則與基礎數學夠了解嗎？有多少人知道從前的結果？歷史因素會影響投資心理。MBA 課上玩兩次就收斂了一層。丹麥報社做是 21，金融時報也做了一次是 18，如今這些都是公開資訊。普羅大眾都知道這些數字的話，下次玩肯定會變小。如果大家不做功課，就會變大。

• Valuation：我們可以拿不同次賭局的狀況來比較，如同股票估值拿不同公司比較各種譬如 PE ratio 等指標來估值。但畢竟每次玩狀況不一樣， no stocks are created equal，韭菜們不一定知道兩者的差異！
• Black Swan / Outlier：參加這次賭局的，有多少下注是來亂的？他們會選超過 67 的數字，用來當作整局精心計算之外的 X 因子。考慮到這些離群值，如果參加者母數小的話，就會極大影響平均了。

• Marketing：如果放一些市場消息，裡面加一些似是而非的時下熱門 Buzzword ，譬如：最新科技「深度學習」的神經網路有無限層，所以大家都該乘上 2/3 無限多次！如此一來，大家都會押無限小啦。
• Monopoly：產業是否有壟斷問題？如果科技大頭 FAAMG 跳進來重押 1，我也押個一百塊來收割韭菜就好啦！還是說風險太高，我這局先不玩下局再玩？

學習 Business 能不能讓我們猜得更準？

很多人好奇 MBA 這個學位到底在學什麼：是都在交朋友呢？念商管以後就可以做大老闆，還是在教我們如何股票投資賺大錢！

商管是一個沒有正確答案的學科群，無論是基礎學科，如經濟統計會計財金，到更偏軟實力的策略溝通領導管理，除了學習前人定出來的規則以外，其餘往往都是用經驗法則，對於商業世界的現象提出不同的理論，歸納總結試圖參透世界輪轉的道理。

而真實世界的市場是動態的，沒有人是全知全能來獲得完整的資訊。但學習商業概念與產業知識，會提供一個框架模型，幫助我們把可能的範圍縮小，做出相對正確的決策，數學告訴我們至少先把 67 以上的砍掉，經濟學會說可以選 1 ，但實務上應該 15 - 30 都可以。這樣每次都接近正確，把時間拉長來看，也許離中大獎還有點距離，但不會離人生目標差得太遠了。

所有模型都是錯的，但有些很有用。

學習前人的經驗，培養對世界的了解與判斷直覺，我想即是商管學習的真諦了。

P.S. 這個局其實很有名，甚至有自己的 wikipedia page！ 如果大家喜歡這樣的文章，請留言告訴我喔！