《誰都可能呼攏你，但是數學不會》裡面的一些數學-大數法則

建議大家可以先去看看上一篇

上篇說的是一些數學給的小觀念，而且是沒有什麼數學的，而這一篇會著重在裡面的數學，不過大家可以放心，我會盡量用淺顯的方式說明其中的概念，沒有艱澀的數學專有名詞也不會有可怕的計算。

每次有機率課程的時候，總會有擲硬幣的例子，今天我們也不例外，好的，假設你的手上有個新台幣的10元硬幣，而在丟了10次之後，發現掉到地上後都是正面，那麼第11次你覺得是什麼結果比較有可能？

相信有人會回答「正面」，因為感覺這個硬幣怪怪的，可能被動了手腳，不過請不要那麼多疑，我們可以用程式來驗證，這種連續好幾次都正面或都反面的例子其實是挺常見的；不過相信會有更多人回答「反面」，因為我們可能會想：「都正面那麼多次了，這次該換反面了吧？」聽起來很有道理，但是這樣很不理性，而回答反面的人很有可能犯了「賭徒謬誤」。

何謂賭徒謬誤？是一種「認知偏誤」，表示在思考時會犯的某種錯誤，而賭徒謬誤表示的錯誤是「當一件事情發生了很多次，那接下來就不太會再發生，或者是當一件事很久沒發生，那接下來就很有可能發生」。

那該怎麼回答呢？應該說：「不一定」，接下來是正面是反面，機率都差不多是二分之一，而且跟前面所有正反面的結果沒關係，因為每次丟硬幣都是相互「獨立」的，指的是每次丟硬幣都不會互相影響，比如每次只擲一個骰子時，每次事件都是互相獨立的，不會有「因為前幾次都是偶數點，所以這次也是偶數點」這種事發生。

在了解大數法則前，我們需要先了解何謂「期望值」，不嚴謹地說，期望值就很像我們常聽到的「加權平均數」，比如在算學期總成績時，我們要把平時成績、期中考、期末考的成績，各自乘以其相對應的比例，再把他們加總起來獲得總成績，而這個成績我們把它抽象化，這就是一種變數，也就是我們把某個事件賦予它一個數值(實數)，例如：當我們丟一枚公正硬幣(兩面都是平的)到正面時，我們就記成「1」，反面則是「0」，而這個比例其實是一種機率，也就是介於0到1之間，且滿足某數學性質的實數，如上例的丟硬幣，正反面的機率都該是1/2，而一件事的期望值就是把每個變數乘以各自的機率後再總起來，如上例的丟硬幣，期望值就是0*(1/2)+1*(1/2)=0.5。

另一個例子是擲公正骰子(六面都是平的，沒有凹洞)，將各自的點數當成變數，而且很容易看出擲出每面的機率都是1/6，則期望值就是1*(1/6)+2*(1/6)+3*(1/6)+4*(1/6)+5*(1/6)+6*(1/6)=3.5，不過要注意的是，我們不可能擲骰子擲到3.5點，所以期望值只是一種期望中的數字，而不一定屬於變數裡其中的一項。

大數法則，口語上來說，就是「若樣本數越多，則樣本的算術平均數會越有可能接近期望值」，裡面的「算術平均數」我們尚未定義，不過就是我們一般所聽到的平均數，不用加權的那種，也就是不考慮機率是多少，直接拿來做平均。

接下來要注意的是，裡面說的是「越可能」接近期望值，所以其實沒有一定，但樣本越多就越有機會。

比如小明經過綜合評比後，他的數學考試的期望分數是70分，但它可能考試出來才40分，但可能下次就考了100分，這樣平均分數就是期望值了，但可能不盡人意，考了60分，這也是很有可能的，因為我們樣本太少了，不過假設他考了一千次，一萬次，它的平均分數肯定會接近70分的，不過這樣真的太殘忍了，哪個老師會想給學生考一千次數學考試呀？

接下來可能有人會想，第一次40分，之後應該要考得高很多才比較有機會到達理論上的期望值70分，所以相信小明之後會更好吧？那可不一定，這本書就說了一個很重要的概念：

也就是我們不用期盼接下來會有補償機制，使得這個偏離期望值的數值被抵銷，大數法則裡的巨大樣本，就像一片汪洋，而裡面的一個樣本，如同杯水車薪，正所謂：

巨大的樣本，其平均值不會因為一個偏離期望值的樣本而放棄將其加總，也不會被它影響到。

有次當我生活整個糟透時，我的朋友們總告訴我：「沒事的，之後一定會好轉的！」其實就像是一種賭徒謬誤，雖然朋友的本意是好的，但是如果你真的遭透時怎麼可能聽進去呢？不如換個說法，比如：「我相信你的實力期望值很高，所以現在這樣只是一個不足以代表你的小事件而已，之後只要實力照常發揮，相信你也會變成光。」當我沒說，估計我聽到時會更痛苦。

像本書作者身為老師，當同學不小心犯錯或表現失常，他不會鼓勵同學做得更好或期待同學戴罪立功，而是提醒同學能記取教訓，之後正常發揮就好，所以前面說的那位小明，下一次考試最有可能的分數應該是70分才對喔！