上古漢語的邏輯結構 030

1.0 從函數到函算語法

1.2 函數概念小史

1.2.1 中譯的來源

1.2.2 一個速度問題

1.2.3 幾何的方法

1.2.4 微積分的記法

 三

有些讀者大概都知道，微積分學有兩個分科﹕一為微分學 (differential calculus)，一為積分學 (integral calculus)﹔前者的主要運算是微分 (differentiation)，後者的主要運算是積分 (integration) 。因此，我們說牛頓和萊布尼茲奠定了微積分學的基礎，就是上述的意思。

所謂「微分」，不外乎求取導數 (derivative)﹔而求取導數的過程就是微分。

放在笛卡兒平面 (Cartesian plane) 上，所謂的「導數」就是尋找曲線上某點的觸線 (tangent)³⁰﹔再簡單一點來說，就是若要尋求曲線 (非直線) 上某點的傾斜度或變動率，我們可把這點無限放大，使成一直線，那便可以使用「老式」的代數和幾何方法求得這一點的傾斜度。反過來，若要尋求一非規則平面的面積，我們基本上可用同一方法，把平面切割成眾多可用「老式」代數和幾何計算的面積，在將這些面積加在一起便成該不規則平面的面績。這是微分的逆反，也就是積分。積分就是微分的逆運算。

在這裡，我們關注的微分學就是計算某量因應另一量的極小變動而產生的極小變動。牛頓最早於1665年在一個「x」的上方加一點來表示這個關係，並且稱

為「x 的流數」，而將「x」稱為「流子」(fluent)。1704年，牛頓寫了一篇題為「de Quadratura curvarum」(曲線的求積法) 的文章，解釋他使用的符號。除了

之外，他還用了

等符號，意思是

的流數﹑

的流數﹑

的流數，如此類推。其實

的導數。牛頓的記法系統有這樣的安排﹕

右向是導數，左向是積分。因此

的導數﹑

的導數，如此類推﹔反過來，

的積分﹑

的積分，如此類推。當然，牛頓的

一貫地是個時間導數。所謂

是指

除了引進「流數」和「流子」，在另一個場合，他還用了一個拉丁名詞「quantitas genita」，即生成量的意思。如果流子是自變元，生成量便是應變元。對牛頓來說，算出某流數的一系列流子就是微分。毫無疑問，牛頓的流數因應流子的變動而變動，這便很有現代函數的輪廓了。

問題卻在於他的記法沒有賦予應變元一個符號或位置，結果便沒有明確自變元與應變元兩者間的關係。

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³⁰ 中文數學界將「tangent」翻作「切線」，事實上，  並不切入平面曲線，嚴格地說，僅僅與給定的曲線有一點的碰觸，與曲線成切割關係的，英語稱「secant」，中譯變成「割線」。其實「切」﹑「割」同義，將「tangent」翻作「切線」不單不準確，兼且令學生困惑，因此我在這裡將「tangent」翻譯為「觸線」。

待續