GRSS relativity 014
倘若，定義Kronecker xi 為：
ξʲᵢ = ∂x̄ʲ/∂xⁱ ∂xⁱ/∂x̄ʲ此定義僅適用於單一維度的座標轉換之情況，即，唯當x̄ʲ = fʲ(xʲ) 時，其座標對座標偏微分的「正」「逆」函數相乘才會恆等於1。
然而，在多維之情況，也就是：當x̄ʲ = fʲ(xⁱ) = fʲ(x¹, x², …, xⁿ) 時，可綜合座標對座標的偏微分、得到Jacobian 的「正」「逆」矩陣，分別為：[∂x̄ʲ/∂xⁱ]、[∂xⁱ/∂x̄ᵏ]，此時，需注意者是，在「正」「逆」矩陣中，對應指標的偏導數間、並不必然為「分子」與「分母」之倒數關係，二者相乘不恆等於1，而唯有整體「正」矩陣與「逆」矩陣相乘的內積、才會恆等於單位矩陣。
此可表示為：
J⋅J⁻¹ = [∂x̄ʲ/∂xⁱ] · [∂xⁱ/∂x̄ᵏ] = [∑ᵢ ∂x̄ʲ⁄∂xⁱ ∂xⁱ⁄∂x̄ᵏ] = I
式中，方括號[] 表「樁」矩陣。
以是之故，應將Kronecker delta 改以獨立的j、k 指標定義，且視i 為用以連結j、k 二變數的外來啞指標 (dummy index)，再將所有的偏導數乘積求和，方為正確，此即：
δʲₖ = ∑ᵢ ∂x̄ʲ⁄∂xⁱ ∂xⁱ⁄∂x̄ᵏ
依鏈鎖律 (chain rule)：
∑ᵢ ∂x̄ʲ⁄∂xⁱ ∂xⁱ⁄∂x̄ᵏ = ∂𝑥̄ʲ∕∂𝑥¹ ∂𝑥¹∕∂𝑥̄ᵏ + ∂𝑥̄ʲ∕∂𝑥² ∂𝑥²∕∂𝑥̄ᵏ = ∂𝑥̄ʲ∕∂𝑥̄ᵏ
其中，δʲₖ 為矩陣之分量，而所有j k 指標的偏導數乘積之組合、構成單位矩陣，此即：[δʲₖ] = I。
又，依前節所述，已知：
gᵢ = ∑ⱼ ḡⱼ ∂x̄ʲ/∂xⁱ = ḡ₁ ∂x̄¹/∂xⁱ + ḡ₂ ∂x̄²/∂xⁱ
Vⁱ = ∑ⱼ V̄ʲ ∂xⁱ⁄∂x̄ʲ = V̄¹ ∂xⁱ⁄∂x̄¹ + V̄² ∂xⁱ⁄∂x̄²
式中，gᵢ、Vⁱ、ḡⱼ、V̄ʲ 都是向量的元素、而非向量本身。
將二者內積、則有：
gᵢ·Vⁱ
= ∑ⱼ ḡⱼ ∂x̄ʲ/∂xⁱ · ∑ₖ V̄ᵏ ∂xⁱ⁄∂x̄ᵏ
= ∑ᵢ∑ⱼ∑ₖ ḡⱼ V̄ᵏ (∂x̄ʲ⁄∂xⁱ ∂xⁱ⁄∂x̄ᵏ)
= ∑ⱼ∑ₖ ḡⱼ V̄ᵏ (∑ᵢ ∂x̄ʲ⁄∂xⁱ ∂xⁱ⁄∂x̄ᵏ)
= ∑ⱼ∑ₖ ḡⱼ V̄ᵏ δʲₖ
= ∑ⱼ ḡⱼ V̄ʲ
= g̅ᵢ·V̅ⁱ
前述推導過程中，圓括號() 表示的是分量間的偏導數乘積、而非張量，因而，可將其順序對調、置於後方。
δʲₖ = ∑ᵢ ∂x̄ʲ⁄∂xⁱ ∂xⁱ⁄∂x̄ᵏ 類似縮併 (contraction) 運算，藉由對重複指標i 展開之求和、將原本含三指標之乘積、「縮併」為僅餘自由指標j k 的組合，最終得到消去所有j ≠ k 的項之結果；然而，事實上，其並非真正的張量縮併 (tensor contraction) 之運算。
例如，在二維平面中，展開i 指標、並對每一組j k 指標之偏導數乘積求和，表示為三指標(i, j, k) 的組合，具體如下：
當j = 1、k = 1 時，
δ¹₁ = ∂x̄¹⁄∂x¹ ∂x¹⁄∂x̄¹ + ∂x̄¹⁄∂x² ∂x²⁄∂x̄¹ = 1
第一項(1, 1, 1)，第二項(2, 1, 1)，
得到：
ḡ₁ V̄¹ (∂x̄¹⁄∂x¹ ∂x¹⁄∂x̄¹ + ∂x̄¹⁄∂x² ∂x²⁄∂x̄¹) = ḡ₁ V̄¹ (1) = ḡ₁ V̄¹
當j = 1、k = 2 時，
δ¹₂ = ∂x̄¹⁄∂x¹ ∂x¹⁄∂x̄² + ∂x̄¹⁄∂x² ∂x²⁄∂x̄² = 0
第一項(1, 1, 2)，第二項(2, 1, 2)，
得到：
ḡ₁ V̄² (∂x̄¹⁄∂x¹ ∂x¹⁄∂x̄² + ∂x̄¹⁄∂x² ∂x²⁄∂x̄²) = ḡ₁ V̄² (0) = 0
當j = 2、k = 1 時，
δ²₁ = ∂x̄²⁄∂x¹ ∂x¹⁄∂x̄¹ + ∂x̄²⁄∂x² ∂x²⁄∂x̄¹ = 0
第一項(1, 2, 1)，第二項(2, 2, 1)，
得到：
ḡ₂ V̄¹ (∂x̄²⁄∂x¹ ∂x¹⁄∂x̄¹ + ∂x̄²⁄∂x² ∂x²⁄∂x̄¹) = ḡ₂ V̄¹ (0) = 0
當j = 2、k = 2 時，
δ²₂ = ∂x̄²⁄∂x¹ ∂x¹⁄∂x̄² + ∂x̄²⁄∂x² ∂x²⁄∂x̄² = 1
第一項(1, 2, 2)，第二項(2, 2, 2)，
得到：
ḡ₂ V̄² (∂x̄²⁄∂x¹ ∂x¹⁄∂x̄² + ∂x̄²⁄∂x² ∂x²⁄∂x̄²) = ḡ₂ V̄² (1) = ḡ₂ V̄²
將上述四情況之結果加總，即證明：
∑ⱼ∑ₖ ḡⱼ V̄ᵏ δʲₖ = ∑ⱼ ḡⱼ V̄ʲ
其中，所有j ≠ k 的項都等於0。
倘若，此時、定義Kronecker zeta 為：
ζʲₖ = ∂x̄ʲ⁄∂xⁱ ∂xⁱ⁄∂x̄ᵏ
而欠缺對於重複指標i 求和的總和符號∑ᵢ，則自由指標(i, j, k) 的組合會有八項，再將其與g、V 相應的j、k 項進行配對，將導致：形式的運算、出現在邏輯上不應存在的項之結果。
亦即：
當i = 1 時，自由指標j k 的組合共有：(1, 1, 1)、(1, 1, 2)、(1, 2, 1)、(1, 2, 2) 四種；
當i = 2 時，自由指標j k 的組合共有：(2, 1, 1)、(2, 1, 2)、(2, 2, 1)、(2, 2, 2) 四種。
雖然，當j k 不一致時，δʲₖ 的值為0，但此結果、係由兩項偏導數的乘積相加後互相抵消所致，而非單項本身即為0。
故，實際上是：
δ¹₁ = (1, 1, 1) + (2, 1, 1) = 1
δ¹₂ = (1, 1, 2) + (2, 1, 2) = 0
δ²₁ = (1, 2, 1) + (2, 2, 1) = 0
δ²₂ = (1, 2, 2) + (2, 2, 2) = 1
而非單獨的：
ζ¹₁ = (1, 1, 1) = (2, 1, 1) = 1
ζ¹₂ = (1, 1, 2) = (2, 1, 2) = 0
ζ²₁ = (1, 2, 1) = (2, 2, 1) = 0
ζ²₂ = (1, 2, 2) = (2, 2, 2) = 1
以致、誤以為有：
gᵢ·Vⁱ
= ∑ⱼ ḡⱼ ∂x̄ʲ/∂xⁱ · ∑ₖ V̄ᵏ ∂xⁱ⁄∂x̄ᵏ
= (ḡ₁ ∂x̄¹/∂xⁱ + ḡ₂ ∂x̄²/∂xⁱ) · (V̄¹ ∂xⁱ⁄∂x̄¹ + V̄² ∂xⁱ⁄∂x̄²)
= ḡ₁ V̄¹ (∂x̄¹/∂xⁱ ∂xⁱ⁄∂x̄¹) + ḡ₂ V̄² (∂x̄²/∂xⁱ ∂xⁱ⁄∂x̄²)
= ḡ₁ V̄¹ (1, 1, 1) + ḡ₁ V̄¹ (2, 1, 1) + ḡ₂ V̄² (1, 2, 2) + ḡ₂ V̄² (2, 2, 2)
= ḡ₁ V̄¹ (1) + ḡ₁·V̄¹ (1) + ḡ₂ V̄² (1) + ḡ₂ V̄² (1)
= ḡ₁ V̄¹ + ḡ₁ V̄¹ + ḡ₂ V̄² + ḡ₂ V̄²
又因前述的邏輯錯誤，遂使g、V 的j k 組合、不能藉由中介指標i 展開之加總、縮併而消去所有j ≠ k 的項，亦造成j = k 的項被重複計算二次之結果。
GRSS relativity 015
任意向量V、可表為其分量乘以座標基底向量之總和：
V = ∑ᵢ Vⁱ eᵢ = V¹ e₁ + V² e₂
其與自身內積、為：
V·V
= ∑ᵢ Vⁱ eᵢ · ∑ⱼ Vʲ eⱼ
= ∑ᵢ∑ⱼ Vⁱ Vʲ (eᵢ·eⱼ)
= V¹ V¹ (e₁·e₁) + V¹ V² (e₁·e₂) + V² V¹ (e₂·e₁) + V² V² (e₂·e₂)
定義基底向量的內積eᵢ·eⱼ為度量張量 (metric tensor) g 之分量：
eᵢ·eⱼ = gᵢⱼ
