工程數學小考必考 NOTE

一、向量基本觀念

1. 向量表示法

在三維空間中，

A⃗ = Ax î + Ay ĵ + Az k̂

|A⃗| = √(Ax² + Ay² + Az²)

單位向量：

 = A⃗ / |A⃗|

2. 向量加減與純量倍

A⃗ ± B⃗ = (Ax ± Bx)î + (Ay ± By)ĵ + (Az ± Bz)k̂

αA⃗ = αAx î + αAy ĵ + αAz k̂

小考常考：

• 兩點求位移向量
• 求向量長度
• 求單位向量

典型題：由 p₁, p₂ 求 p₁p₂ 向量、長度與單位向量。

二、內積（dot product）

1. 公式

A⃗ · B⃗ = AxBx + AyBy + AzBz

幾何意義：

A⃗ · B⃗ = |A⃗||B⃗|cosθ

因此：

cosθ = (A⃗ · B⃗) / (|A⃗||B⃗|)

2. 必背性質

• A⃗ · A⃗ = |A⃗|²
• A⃗ ⊥ B⃗ ⇔ A⃗ · B⃗ = 0
• A⃗ · B⃗ = B⃗ · A⃗

3. 投影向量

A⃗ 在 B⃗ 上的投影向量：

proj_B⃗ A⃗ = [(A⃗ · B⃗) / |B⃗|²] B⃗

第一份筆記第 5 頁有把投影向量 p⃗ 的推法畫出來，是小考非常愛考的基本題。工程數學筆記

三、外積（cross product）

1. 公式

A⃗ × B⃗ =

(AyBz − AzBy)î − (AxBz − AzBx)ĵ + (AxBy − AyBx)k̂

也可寫成行列式形式：

| î ĵ k̂ |

| Ax Ay Az |

| Bx By Bz |

第一份筆記第 5 頁就是用幾何定義加行列式展開來整理。工程數學筆記

2. 幾何意義

|A⃗ × B⃗| = |A⃗||B⃗|sinθ

外積結果是一個垂直於 A⃗ 與 B⃗ 所張平面的向量，方向由右手定則決定。這在第一份筆記第 5 頁的示意圖中很清楚。工程數學筆記

3. 必背性質

• A⃗ × B⃗ = − B⃗ × A⃗
• A⃗ × A⃗ = 0⃗
• 若 A⃗ ∥ B⃗，則 A⃗ × B⃗ = 0⃗

四、行列式基本觀念

必背：

2×2 行列式

|a b| |c d| = ad − bc

3×3 行列式要會：

• 第一列展開
• 配合外積的行列式寫法

五、del operator 與向量微分運算

1. del 算子

∇ = î ∂/∂x + ĵ ∂/∂y + k̂ ∂/∂z

del operator，並區分純量場 f 與向量場 V⃗。

六、梯度 gradient

若 f(x,y,z) 是純量場，則

∇f = ∂f/∂x î + ∂f/∂y ĵ + ∂f/∂z k̂

幾何意義

• 指向函數上升最快方向
• 大小代表最大變化率

必考

給 f(x,y,z)，求某點的 grad(f)

第一份與第二份筆記都用

f(x,y,z)=x⁴+y⁴+z 來示範 gradient 的求法。

七、方向導數

若 û 是單位向量，則 f 在 û 方向的方向導數為：

D_u f = ∇f · û

df/ds = ∇f · û = |∇f|cosθ， 並配上曲線切向量與單位切向量的圖。

小考必背流程

1. 先求 ∇f
2. 方向向量 v⃗ 單位化成 û = v⃗ / |v⃗|
3. 算 ∇f · û

易錯點

很多人會直接拿 v⃗ 去點乘，忘記先單位化。

八、散度 divergence

若

V⃗ = Vx î + Vy ĵ + Vz k̂

則

∇ · V⃗ = ∂Vx/∂x + ∂Vy/∂y + ∂Vz/∂z

散度是「無方向性」，因為結果是純量。

物理直覺

• 散度 > 0：像源頭，往外流
• 散度 < 0：像匯點，往內吸
• 散度 = 0：局部無淨流出

九、旋度 curl

∇ × V⃗ =

| î ĵ k̂ |
| ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z |
| Vx Vy Vz |

觀念

旋度描述向量場的局部旋轉傾向，結果是向量。

小考必考

給 V⃗(x,y,z)，求 curl(V⃗)

十、Laplacian

對純量場 f，

∇²f = ∇ · (∇f) = ∂²f/∂x² + ∂²f/∂y² + ∂²f/∂z²

第二份筆記第 1 頁有把 ∇²f 接在 grad、div、curl 的例題後面一起算出來。工數筆記 W2

必背

Laplacian 是「二階偏導總和」。

十一、線積分（scalar line integral）

∫_C f(x,y,z) ds 的定義與兩種常見寫法：參數式 r⃗(t) 與顯函數 y(x), z(x)。

1. 若 r⃗(t)=x(t)î+y(t)ĵ+z(t)k̂

則

ds = √[(dx/dt)² + (dy/dt)² + (dz/dt)²] dt

所以

∫_C f ds = ∫[a,b] f(x(t),y(t),z(t)) √[(dx/dt)²+(dy/dt)²+(dz/dt)²] dt

2. 若用 x 當參數

ds = √[1 + (dy/dx)² + (dz/dx)²] dx

小考重點

• 先找參數
• 再求 ds
• 再代入 f

第二份筆記第 4 頁用螺旋線與圓弧路徑做了典型示範。工數筆記 W2

十二、向量線積分（work integral）

若 F⃗ 為向量場，則

∫_C F⃗ · dr⃗

其中

dr⃗ = dx î + dy ĵ + dz k̂

第二份筆記第 5 頁就有用

F⃗ = xy î + x ĵ 沿兩條不同曲線積分的例題。工數筆記 W2

解題 SOP

1. 參數化曲線
2. 求 dr⃗
3. 代入 F⃗
4. 算 F⃗ · dr⃗
5. 積分

十三、Gauss 散度定理

第二份筆記第 5 到 6 頁整理了高斯散度定理：工數筆記 W2

∭_D (∇·F⃗) dV = ∬_S F⃗ · n̂ dA

意思

封閉曲面流出的總通量

= 區域內所有「源」的總和

小考重點

如果題目是封閉曲面通量，通常先看能不能用散度定理，常比直接做曲面積分簡單很多。

小考必考速記版

小考必考速記版

你考前最後 3 分鐘只要記這些：

A⃗ · B⃗ = AxBx + AyBy + AzBz

A⃗ × B⃗ = 行列式展開

proj_B⃗ A⃗ = [(A⃗·B⃗)/|B⃗|²] B⃗

∇f = <fx, fy, fz>

D_u f = ∇f · û

∇·V⃗ = Vx,x + Vy,y + Vz,z

∇×V⃗ = 行列式展開

∇²f = fxx + fyy + fzz

ds = |dr⃗|

∫_C F⃗·dr⃗：先參數化再點乘

∭_D ∇·F⃗ dV = ∬_S F⃗·n̂ dA

基本練習題（附答案解析）

練習 1：向量長度與單位向量

已知 A⃗ = <3, 4, 12>

求： (1) |A⃗| (2) A⃗ 的單位向量

答案解析：

(1) 先求長度：

|A⃗| = √(3² + 4² + 12²)

= √(9 + 16 + 144) = √169 = 13

所以：

|A⃗| = 13

(2) 單位向量公式：

 = A⃗ / |A⃗|

所以：

 = <3,4,12> / 13

= <3/13, 4/13, 12/13>

所以答案是：

A⃗ 的單位向量 = <3/13, 4/13, 12/13>

練習 2：內積與夾角

已知 A⃗ = <1, 2, 2>，B⃗ = <2, 1, 2>

求： (1) A⃗ · B⃗ (2) 夾角 θ 的 cosθ

答案解析：

(1) 內積公式：

A⃗ · B⃗ = AxBx + AyBy + AzBz

代入：

A⃗ · B⃗ = 1·2 + 2·1 + 2·2

= 2 + 2 + 4 = 8

所以：

A⃗ · B⃗ = 8

(2) 先求兩向量長度：

|A⃗| = √(1² + 2² + 2²) = √9 = 3

|B⃗| = √(2² + 1² + 2²) = √9 = 3

公式：

cosθ = (A⃗ · B⃗) / (|A⃗||B⃗|)

代入：

cosθ = 8 / (3·3) = 8/9

所以：

cosθ = 8/9

練習 3：投影向量

已知 A⃗ = <2, 3, 1>，B⃗ = <1, 0, 2>

求 A⃗ 在 B⃗ 上的投影向量。

答案解析：

投影公式：

proj_B⃗ A⃗ = [(A⃗ · B⃗) / |B⃗|²] B⃗

先算內積：

A⃗ · B⃗ = 2·1 + 3·0 + 1·2

= 2 + 0 + 2 = 4

再算 |B⃗|²：

|B⃗|² = 1² + 0² + 2² = 5

所以：

proj_B⃗ A⃗ = (4/5)<1,0,2>

= <4/5, 0, 8/5>

所以答案是：

A⃗ 在 B⃗ 上的投影向量 = <4/5, 0, 8/5>

練習 4：外積

已知 A⃗ = <1, 2, 3>，B⃗ = <2, −1, 1>

求 A⃗ × B⃗

答案解析：

外積行列式：

A⃗ × B⃗ =

| î ĵ k̂ | | 1 2 3 | | 2 −1 1 |

展開：

A⃗ × B⃗

= (2·1 − 3·(−1))î − (1·1 − 3·2)ĵ + (1·(−1) − 2·2)k̂ = (2 + 3)î − (1 − 6)ĵ + (−1 − 4)k̂ = 5î − (−5)ĵ − 5k̂ = 5î + 5ĵ − 5k̂

所以答案是：

A⃗ × B⃗ = <5, 5, −5>

練習 5：gradient

設 f(x,y,z)=x²y + yz + z³

求 ∇f

答案解析：

梯度公式：

∇f = <∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z>

先分別微分：

∂f/∂x = 2xy

∂f/∂y = x² + z ∂f/∂z = y + 3z²

所以：

∇f = <2xy, x² + z, y + 3z²>

練習 6：某點的 gradient

承上題，求在點 (1,2,−1) 的 ∇f

答案解析：

上一題已得：

∇f = <2xy, x² + z, y + 3z²>

代入 (x,y,z)=(1,2,−1)：

第一項：2xy = 2·1·2 = 4

第二項：x² + z = 1² + (−1) = 0 第三項：y + 3z² = 2 + 3·1 = 5

所以：

∇f(1,2,−1) = <4, 0, 5>

練習 7：方向導數

設 f(x,y,z)=x²+y²+z²

求在點 (1,1,1) 沿 v⃗=<2,1,2> 方向的方向導數。

答案解析：

方向導數公式：

D_u f = ∇f · û

先求梯度：

∇f = <2x, 2y, 2z>

在點 (1,1,1)：

∇f(1,1,1) = <2,2,2>

再把方向向量 v⃗=<2,1,2> 單位化：

|v⃗| = √(2² + 1² + 2²) = √9 = 3

所以：

û = <2/3, 1/3, 2/3>

接著做內積：

D_u f = <2,2,2> · <2/3,1/3,2/3>

= 2·2/3 + 2·1/3 + 2·2/3 = 4/3 + 2/3 + 4/3 = 10/3

所以答案是：

方向導數 = 10/3

練習 8：divergence

設 V⃗(x,y,z)=<x², xy, yz>

求 ∇·V⃗

答案解析：

散度公式：

∇·V⃗ = ∂Vx/∂x + ∂Vy/∂y + ∂Vz/∂z

這裡：

Vx = x²

Vy = xy Vz = yz

所以：

∂Vx/∂x = 2x

∂Vy/∂y = x ∂Vz/∂z = y

相加得：

∇·V⃗ = 2x + x + y = 3x + y

所以答案是：

∇·V⃗ = 3x + y

練習 9：curl

設 V⃗(x,y,z)=<yz, xz, xy>

求 ∇×V⃗

答案解析：

旋度公式：

∇×V⃗ =

<∂Vz/∂y − ∂Vy/∂z, ∂Vx/∂z − ∂Vz/∂x, ∂Vy/∂x − ∂Vx/∂y>

這裡：

Vx = yz

Vy = xz Vz = xy

依序計算：

第一項：

∂Vz/∂y − ∂Vy/∂z = ∂(xy)/∂y − ∂(xz)/∂z = x − x = 0

第二項：

∂Vx/∂z − ∂Vz/∂x = ∂(yz)/∂z − ∂(xy)/∂x = y − y = 0

第三項：

∂Vy/∂x − ∂Vx/∂y = ∂(xz)/∂x − ∂(yz)/∂y = z − z = 0

所以：

∇×V⃗ = <0,0,0>

練習 10：Laplacian

設 f(x,y,z)=x³+y³+z³

求 ∇²f

答案解析：

Laplacian 公式：

∇²f = ∂²f/∂x² + ∂²f/∂y² + ∂²f/∂z²

先求一階偏導：

∂f/∂x = 3x²

∂f/∂y = 3y² ∂f/∂z = 3z²

再求二階偏導：

∂²f/∂x² = 6x

∂²f/∂y² = 6y ∂²f/∂z² = 6z

所以：

∇²f = 6x + 6y + 6z

練習 11：純量線積分

計算 ∫_C (x+y) ds，

其中 C 為直線段 r⃗(t)=<t,t>，0≤t≤1。

答案解析：

曲線參數式：

r⃗(t)=<t,t>

所以：

x=t，y=t，0≤t≤1

因此：

x+y = 2t

再求 ds：

dr⃗/dt = <1,1>

所以：

ds = |dr⃗/dt|dt = √(1²+1²) dt = √2 dt

代入積分：

∫_C (x+y) ds = ∫₀¹ (2t)(√2) dt

= 2√2 ∫₀¹ t dt = 2√2 · (1/2) = √2

所以答案是：

∫_C (x+y) ds = √2

練習 12：向量線積分

設 F⃗=<y,x>，C 為直線段 r⃗(t)=<t,2t>，0≤t≤1。

求 ∫_C F⃗·dr⃗

答案解析：

先參數化：

r⃗(t)=<t,2t>

所以：

x=t，y=2t，0≤t≤1

因此向量場變成：

F⃗ = <y,x> = <2t,t>

再求：

dr⃗/dt = <1,2>

所以：

dr⃗ = <1,2>dt

接著做點積：

F⃗·dr⃗ = <2t,t>·<1,2>dt

= (2t·1 + t·2)dt = 4t dt

所以：

∫_C F⃗·dr⃗ = ∫₀¹ 4t dt

= 4·(1/2) = 2

所以答案是：

∫_C F⃗·dr⃗ = 2

練習 13：Gauss 散度定理基本題

設 F⃗=<x,y,z>，S 為單位球面 x²+y²+z²=1。

求 ∬_S F⃗·n̂ dA

答案解析：

這題最適合用 Gauss 散度定理：

∬_S F⃗·n̂ dA = ∭_D (∇·F⃗) dV

先求散度：

F⃗=<x,y,z>

所以：

∇·F⃗ = ∂x/∂x + ∂y/∂y + ∂z/∂z

= 1 + 1 + 1 = 3

因此：

∬_S F⃗·n̂ dA = ∭_D 3 dV

= 3 ∭_D dV = 3 × (單位球體積)

單位球體積：

Vol = 4π/3

所以：

∬_S F⃗·n̂ dA = 3 × 4π/3 = 4π

所以答案是：

∬_S F⃗·n̂ dA = 4π

小考前超短提醒

你這 13 題其實就是小考最基本母題，重點只要抓住：

• 長度 → √平方和
• 單位向量 → 向量除以長度
• 內積 → 對應分量相乘相加
• 投影 → [(A⃗·B⃗)/|B⃗|²]B⃗
• 外積 → 行列式展開，ĵ 項要小心負號
• gradient → 對 x、y、z 分別偏微分
• 方向導數 → 先單位化方向向量
• divergence → 三個分量各對自己的變數微分後相加
• curl → 行列式或分量公式
• Laplacian → 二階偏導總和
• 純量線積分 → 先求 ds
• 向量線積分 → 先求 dr⃗，再做 F⃗·dr⃗
• 球面通量 → 優先想 Gauss 散度定理

小考最容易失分的地方

第一，方向導數忘記把方向向量單位化。

第二，外積 ĵ 項符號容易寫錯，因為行列式展開時中間那項要帶負號。

第三，散度是純量、旋度是向量，很多人會混掉。

第四，線積分先求 ds 或 dr⃗ 再代入，不要直接把函數拿去硬積。