ANS:
p₁ = (−2, 1, 3)，p₂ = (−3, −1, 5)
(1) 求 (p_1 p_2 ) ⃗(p_1 p_2 ) ⃗= p₂ − p₁
= (−3 − (−2), −1 − 1, 5 − 3)
= (−1, −2, 2)
所以：
(p_1 p_2 ) ⃗= (−1, −2, 2)
(2) 求 |(p_1 p_2 ) ⃗|
|(p_1 p_2 ) ⃗| = √[(−1)² + (−2)² + 2²]
= √(1 + 4 + 4)
= √9
= 3
所以：
|(p_1 p_2 ) ⃗| = 3
(3) 求 (p_1 p_2 ) ⃗上的單位向量
單位向量 = (p_1 p_2 ) ⃗/ |(p_1 p_2 ) ⃗|
= (−1, −2, 2) / 3
= (−1/3, −2/3, 2/3)
所以：
u ̂= (−1/3, −2/3, 2/3)
在工程數學裡，點與向量最好明確區分：
點：p₁, p₂
向量：(p_1 p_2 ) ⃗
大小：|(p_1 p_2 ) ⃗|
單位向量：u ̂
單位向量是大小等於 1 的向量，主要用來表示方向而不強調長度；任何非零向量都可以除以自己的大小，化成與原向量方向相同、但長度為 1 的單位向量，因此它常用來描述直線方向、力的方向、速度方向與座標軸方向，是工程數學與物理中很基本的重要概念。
已知
A⃗ = −2î + ĵ + 2k̂
B⃗ = 3î + 4k̂
也就是
A⃗ = (−2, 1, 2)
B⃗ = (3, 0, 4)
而且圖中已先算出：
|A⃗| = √[(−2)² + 1² + 2²] = √9 = 3
|B⃗| = √(3² + 0² + 4²) = √25 = 5
________________________________________
(1) 求 A⃗ 與 B⃗ 之內積
內積公式：
A⃗ · B⃗ = AₓBₓ + AᵧBᵧ + A_zB_z
代入：
A⃗ · B⃗ = (−2)(3) + (1)(0) + (2)(4)
= −6 + 0 + 8
= 2
所以答案是：
A⃗ · B⃗ = 2
________________________________________
(2) 求 A⃗ 與 B⃗ 之夾角
夾角公式：
A⃗ · B⃗ = |A⃗||B⃗| cos θ
所以
cos θ = (A⃗ · B⃗) / (|A⃗||B⃗|)
代入：
cos θ = 2 / (3×5) = 2/15
因此
θ = cos⁻¹(2/15)
這就是精確答案。
若求近似值：
θ ≈ 82.34°
所以答案是：
θ = cos⁻¹(2/15) ≈ 82.34°
________________________________________
(3) 求 A⃗ 在 B⃗ 上的投影向量
A⃗ 在 B⃗ 上的投影向量公式：
proj_B⃗ A⃗ = [(A⃗ · B⃗) / |B⃗|²] B⃗
先算：
A⃗ · B⃗ = 2
|B⃗|² = 5² = 25
所以
proj_B⃗ A⃗ = (2/25)B⃗
再代入 B⃗ = (3, 0, 4)：
proj_B⃗ A⃗ = (2/25)(3, 0, 4)
= (6/25, 0, 8/25)
用 î、ĵ、k̂ 表示為：
proj_B⃗ A⃗ = (6/25)î + 0ĵ + (8/25)k̂
也可簡寫成：
proj_B⃗ A⃗ = (6/25)î + (8/25)k̂
________________________________________
最終答案
(1) 內積
A⃗ · B⃗ = 2
(2) 夾角
θ = cos⁻¹(2/15) ≈ 82.34°
(3) A⃗ 在 B⃗ 上的投影向量
proj_B⃗ A⃗ = (2/25)B⃗ = (6/25, 0, 8/25)
________________________________________
一句話理解
因為 A⃗ · B⃗ = 2 是正的，所以兩向量夾角是銳角；但數值很小，表示 A⃗ 在 B⃗ 方向上的分量不大，所以角度接近 90°。
投影向量公式 proj_B⃗ A⃗ = [(A⃗ · B⃗) / |B⃗|²] B⃗，是由「投影向量 = 投影長度 × 方向單位向量」推得；其中 A⃗ 在 B⃗ 方向上的投影長度為 (A⃗ · B⃗) / |B⃗|，而 B⃗ 方向的單位向量為 B⃗ / |B⃗|，兩者相乘後就得到 [(A⃗ · B⃗) / |B⃗|²] B⃗，表示把 A⃗ 沿著 B⃗ 的方向取出其向量分量。
內積是兩個向量相乘後得到的一個純量，用來衡量兩個向量彼此同方向的程度；若兩向量越同向，內積越大，若互相垂直則內積為 0，若方向相反則內積為負，因此內積常用來判斷垂直、計算夾角，以及求某方向上的分量。
夾角是指兩個向量之間張開的角度，用來描述它們方向有多接近；夾角越小，表示方向越相近，若夾角是 90° 表示互相垂直，若接近 180° 則表示方向幾乎相反，在工程數學中常利用 cos θ = (A⃗·B⃗) / (|A⃗||B⃗|) 來求兩向量的夾角。
投影向量是把一個向量沿著另一個向量方向「投射」過去後得到的向量，也就是原向量在某指定方向上的向量分量；它保留方向資訊，方向會沿著被投影的那個向量，大小則表示原向量在那個方向上有多少成分，因此常用來做分解、受力分析與座標方向上的量化。
已知：
• u⃗、v⃗ 是單位向量
• u⃗ ⟂ v⃗，表示互相垂直
要求：
|u⃗ + v⃗| = ?
________________________________________
由向量長度公式：
|u⃗ + v⃗|² = (u⃗ + v⃗) · (u⃗ + v⃗)
展開得：
|u⃗ + v⃗|² = u⃗·u⃗ + 2u⃗·v⃗ + v⃗·v⃗
因為：
• u⃗、v⃗ 是單位向量，所以
u⃗·u⃗ = |u⃗|² = 1
v⃗·v⃗ = |v⃗|² = 1
• u⃗ ⟂ v⃗，所以
u⃗·v⃗ = 0
因此：
|u⃗ + v⃗|² = 1 + 0 + 1 = 2
所以：
|u⃗ + v⃗| = √2
________________________________________
答案
√2
________________________________________
直覺理解
兩個互相垂直的單位向量，就像直角三角形的兩股都長 1，和向量就是斜邊，所以長度是：
√(1² + 1²) = √2
已知
A⃗ = −2î + ĵ + 2k̂ = (−2, 1, 2)
B⃗ = 3î + 4k̂ = (3, 0, 4)
要求：
A⃗ × B⃗
________________________________________
外積公式
A⃗ × B⃗ =
| î ĵ k̂ |
| −2 1 2 |
| 3 0 4 |
依第一列展開：
A⃗ × B⃗ = î[(1)(4) − (2)(0)] − ĵ[(−2)(4) − (2)(3)] + k̂[(−2)(0) − (1)(3)]
________________________________________
逐項計算
î 分量
(1)(4) − (2)(0) = 4
ĵ 分量
(−2)(4) − (2)(3) = −8 − 6 = −14
前面有負號，所以變成：
−(−14) = 14
k̂ 分量
(−2)(0) − (1)(3) = 0 − 3 = −3
________________________________________
所以結果為
A⃗ × B⃗ = 4î + 14ĵ − 3k̂
________________________________________
最終答案
A⃗ × B⃗ = 4î + 14ĵ − 3k̂
________________________________________
補充
外積結果會得到一個同時垂直於 A⃗ 與 B⃗ 的向量，方向由右手定則決定。
ANS:
求一個同時垂直於 2𝐣 − 3𝐤 與 2𝐢 的單位向量。
設
A = 2𝐣 − 3𝐤 = (0, 2, −3)
B = 2𝐢 = (2, 0, 0)
同時垂直於 A 和 B 的向量，可用外積求：
A × B = | 𝐢 𝐣 𝐤 |
| 0 2 −3 |
| 2 0 0 |
展開得：
A × B = 0𝐢 − (0 − (−6))𝐣 + (0 − 4)𝐤
= −6𝐣 − 4𝐤
所以一個垂直向量可寫成：
v = (0, −6, −4)
接著求它的長度：
|v| = √(0² + (−6)² + (−4)²)
= √(36 + 16)
= √52
= 2√13
因此單位向量為：
u = v / |v| = (−6𝐣 − 4𝐤) / (2√13)
化簡：
u = (−3/√13)𝐣 − (2/√13)𝐤
因為方向相反也可以，所以另一個答案是：
u = (3/√13)𝐣 + (2/√13)𝐤
所以答案可寫：
±[(3/√13)𝐣 + (2/√13)𝐤]
ANS:
(1) 求 grad(f) 在 (4, −1, 3)
梯度定義：
grad(f) = ∇f = (∂f/∂x)i⃗ + (∂f/∂y)j⃗ + (∂f/∂z)k⃗
因為
f(x, y, z) = x⁴ + y⁴ + z
所以
∂f/∂x = 4x³
∂f/∂y = 4y³
∂f/∂z = 1
因此
∇f = 4x³ i⃗ + 4y³ j⃗ + k⃗
代入 (4, −1, 3)：
4(4³) = 4(64) = 256
4(−1)³ = −4
所以
grad(f)|(4,−1,3) = 256i⃗ − 4j⃗ + k⃗
________________________________________
(2) 計算 div(V⃗)
已知
V⃗ = (x + y)² i⃗ + z² j⃗ + 2yz k⃗
設
V₁ = (x + y)²
V₂ = z²
V₃ = 2yz
散度定義：
div(V⃗) = ∂V₁/∂x + ∂V₂/∂y + ∂V₃/∂z
逐項算：
∂/∂x [(x + y)²] = 2(x + y)
∂/∂y [z²] = 0
∂/∂z [2yz] = 2y
所以
div(V⃗) = 2(x + y) + 0 + 2y
= 2x + 4y
因此
div(V⃗) = 2x + 4y
________________________________________
(3) 計算 curl(V⃗)
旋度定義：
curl(V⃗) = ∇ × V⃗
= | i⃗ j⃗ k⃗ |
| ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z |
| (x+y)² z² 2yz |
依公式展開：
curl(V⃗)
= [∂(2yz)/∂y − ∂(z²)/∂z]i⃗
− [∂(2yz)/∂x − ∂((x+y)²)/∂z]j⃗
• [∂(z²)/∂x − ∂((x+y)²)/∂y]k⃗
逐項算：
∂(2yz)/∂y = 2z
∂(z²)/∂z = 2z
所以 i⃗ 分量：
2z − 2z = 0
再來 j⃗ 分量：
∂(2yz)/∂x = 0
∂((x+y)²)/∂z = 0
所以
−(0 − 0) = 0
再來 k⃗ 分量：
∂(z²)/∂x = 0
∂((x+y)²)/∂y = 2(x+y)
所以
0 − 2(x+y) = −2(x+y)
因此
curl(V⃗) = −2(x + y)k⃗
也可寫成
curl(V⃗) = 0i⃗ + 0j⃗ − 2(x + y)k⃗
________________________________________
(4) 計算 ∇²f
拉普拉斯算子定義：
∇²f = ∂²f/∂x² + ∂²f/∂y² + ∂²f/∂z²
因為
f(x, y, z) = x⁴ + y⁴ + z
先求二階偏導：
∂f/∂x = 4x³
⇒ ∂²f/∂x² = 12x²
∂f/∂y = 4y³
⇒ ∂²f/∂y² = 12y²
∂f/∂z = 1
⇒ ∂²f/∂z² = 0
所以
∇²f = 12x² + 12y²
因此
∇²f = 12x² + 12y²
________________________________________
最後答案整理
(1)
grad(f)|(4,−1,3) = 256i⃗ − 4j⃗ + k⃗
(2)
div(V⃗) = 2x + 4y
curl(V⃗) = −2(x + y)k⃗
∇²f = 12x² + 12y²
第一步：先求梯度 grad(f)
方向導數公式：
Dᵤf = ∇f · û
所以先求
∇f = (∂f/∂x)i⃗ + (∂f/∂y)j⃗ + (∂f/∂z)k⃗
已知
f(x, y, z) = 3x² − y³ + 2z²
所以
∂f/∂x = 6x
∂f/∂y = −3y²
∂f/∂z = 4z
因此
∇f = 6x i⃗ − 3y² j⃗ + 4z k⃗
________________________________________
第二步：代入點 P(1, −1, 2)
∇f(1, −1, 2)
= 6(1)i⃗ − 3(−1)²j⃗ + 4(2)k⃗
= 6i⃗ − 3j⃗ + 8k⃗
所以
∇f(1, −1, 2) = ⟨6, −3, 8⟩
________________________________________
第三步：把方向向量單位化
給的方向向量是
v⃗ = ⟨2, 2, −1⟩
先求長度：
|v⃗| = √(2² + 2² + (−1)²)
= √(4 + 4 + 1)
= √9
= 3
所以單位方向向量為
û = v⃗ / |v⃗|
= ⟨2/3, 2/3, −1/3⟩
________________________________________
第四步：做內積
Dᵤf = ∇f · û
= ⟨6, −3, 8⟩ · ⟨2/3, 2/3, −1/3⟩
= 6(2/3) + (−3)(2/3) + 8(−1/3)
= 4 − 2 − 8/3
= 2 − 8/3
= 6/3 − 8/3
= −2/3
________________________________________
答案
方向導數 = −2/3
解題主線
方向導數公式是：
Dᵤf = ∇f · û
所以要做三件事：
1. 求 f 的梯度 ∇f
2. 求曲面的法向量
3. 把法向量單位化後，與 ∇f 做內積
________________________________________
第一步：求 ∇f
已知
f(x, y, z) = x + 3y² + 4z³
所以偏微分為：
∂f/∂x = 1
∂f/∂y = 6y
∂f/∂z = 12z²
因此
∇f = ⟨1, 6y, 12z²⟩
代入點 P(1/2, 1/2, 2)：
∇f(1/2, 1/2, 2)
= ⟨1, 6·(1/2), 12·(2²)⟩
= ⟨1, 3, 48⟩
________________________________________
第二步：求曲面 z = 4x² + 4y² 的法向量
把曲面改寫成隱函數：
g(x, y, z) = 4x² + 4y² − z = 0
曲面的法向量可由梯度 ∇g 給出：
∇g = ⟨8x, 8y, −1⟩
代入點 P(1/2, 1/2, 2)：
∇g(1/2, 1/2, 2)
= ⟨8·(1/2), 8·(1/2), −1⟩
= ⟨4, 4, −1⟩
所以曲面的法向量可以取為
n = ⟨4, 4, −1⟩
________________________________________
第三步：把法向量單位化
|n| = √(4² + 4² + (−1)²)
= √(16 + 16 + 1)
= √33
所以單位法向量為
û = ⟨4/√33, 4/√33, −1/√33⟩
________________________________________
第四步：算方向導數
Dᵤf = ∇f · û
= ⟨1, 3, 48⟩ · ⟨4/√33, 4/√33, −1/√33⟩
= 1·4/√33 + 3·4/√33 + 48·(−1/√33)
= 4/√33 + 12/√33 − 48/√33
= −32/√33
________________________________________
答案
沿著該曲面法向量方向的方向導數為
−32/√33
________________________________________
補充
若題目把「法向量方向」視為相反方向，也就是取 −n，那答案會變成
32/√33
但一般寫法通常取
∇g = ⟨4,4,−1⟩
所以答案常寫為：
−32/√33
題目給的曲線是
r⃗(t) = a cos t i⃗ + a sin t j⃗ + ct k⃗
也就是
x = a cos t, y = a sin t, z = ct
這是一條繞著圓柱往上升的螺旋線。
________________________________________
(1) 求 t ∈ [0, 2π] 的弧長
弧長公式：
L = ∫₀²π |r⃗′(t)| dt
先求導數
r⃗′(t) = −a sin t i⃗ + a cos t j⃗ + c k⃗
所以速度大小為
|r⃗′(t)| = √[ (−a sin t)² + (a cos t)² + c² ]
= √[ a² sin² t + a² cos² t + c² ]
= √[ a²(sin² t + cos² t) + c² ]
= √(a² + c²)
這是一個常數，所以
L = ∫₀²π √(a² + c²) dt
= 2π√(a² + c²)
________________________________________
(2) 若 a = 3，c = 4，求其弧長
代入上式：
L = 2π√(3² + 4²)
= 2π√(9 + 16)
= 2π√25
= 2π·5
= 10π
________________________________________
答案
(1) L = 2π√(a² + c²)
(2) L = 10π
(1) 沿 x + y = 1，從 (0,1) 到 (1,0)
這條直線可寫成
y = 1 − x，0 ≤ x ≤ 1
所以
dy/dx = −1
而
ds = √(1 + (dy/dx)²) dx = √(1 + 1) dx = √2 dx
再代入被積函數：
3x² + 3y² = 3x² + 3(1 − x)²
= 3[x² + (1 − 2x + x²)]
= 3(2x² − 2x + 1)
= 6x² − 6x + 3
因此
∫c (3x² + 3y²) ds
= ∫₀¹ (6x² − 6x + 3)√2 dx
= √2 ∫₀¹ (6x² − 6x + 3) dx
先積分：
∫ (6x² − 6x + 3) dx = 2x³ − 3x² + 3x
代入 0 到 1：
[2x³ − 3x² + 3x]₀¹ = 2 − 3 + 3 = 2
所以
(1) 的答案 = 2√2
________________________________________
(2) 沿 x² + y² = 1，順時針由 (0,1) 到 (1,0)
這是單位圓上第一象限那段圓弧。
因為在圓上
x² + y² = 1
所以被積函數變成
3(x² + y²) = 3
也就是常數。
第一類線積分就變成
∫c 3 ds = 3∫c ds = 3 × (弧長)
從 (0,1) 到 (1,0) 的順時針路徑，是 1/4 圓周
半徑 r = 1，所以弧長為
L = rθ = 1 × (π/2) = π/2
因此
∫c (3x² + 3y²) ds = 3 × π/2
所以
(2) 的答案 = 3π/2
________________________________________
(3) 沿 x² + y² = 1，逆時針由 (0,1) 到 (1,0)
逆時針從 (0,1) 走到 (1,0)，會繞過大半圈，也就是 3/4 圓周
同樣因為在圓上
x² + y² = 1
所以被積函數仍為
3
因此
∫c (3x² + 3y²) ds = 3 × (弧長)
而 3/4 圓周的弧長為
L = 1 × (3π/2) = 3π/2
所以
∫c (3x² + 3y²) ds = 3 × 3π/2 = 9π/2
因此
(3) 的答案 = 9π/2
________________________________________
最後答案整理
(1) 2√2
(2) 3π/2
(3) 9π/2
________________________________________
這題的關鍵是：
• 直線要真的算 ds
• 圓上因為 x² + y² = 1，所以 integrand 直接變成常數 3
• 第一類線積分和方向無關，但不同方向若走的是不同弧段，答案就會不同
題目是：
F ⃗=xy" " i ⃗+x" " j ⃗
求線積分
∫_C▒F┴⃗ ⋅dr ⃗
對下列兩條曲線：
C_1:y=x，從 (0ⓜ,0)到 (1ⓜ,1)
C_2:y=x^2，從 (0ⓜ,0)到 (1ⓜ,1)
________________________________________
先寫成微分形式
因為
F ⃗=⟨xy," " x⟩
所以
F ⃗⋅dr ⃗=xy" " dx+x" " dy
因此題目變成算
∫_C▒〖(xy" " dx+x" " dy)〗
________________________________________
(1) C_1:y=x
沿著 y=x，可設
x=t,y=t,0≤t≤1
則
dx=dt,dy=dt
代入：
∫_(C_1)▒〖(xy" " dx+x" " dy)=〗 ∫_0^1▒〖(t⋅t" " dt+t" " dt)〗
=∫_0^1▒( t^2+t)" " dt
=[t^3/3ⓜ+t^2/2]_0^1=1/3+1/2=5/6
所以
(1) ∫_(C_1)▒F┴⃗ ⋅dr ⃗=5/6
________________________________________
(2) C_2:y=x^2
設
x=t,y=t^2,0≤t≤1
則
dx=dt,dy=2t" " dt
代入：
∫_(C_2)▒〖(xy" " dx+x" " dy)=〗 ∫_0^1▒〖(t⋅〗 t^2 " " dt+t(2t" " dt))
=∫_0^1▒( t^3+2t^2)" " dt
=[t^4/4ⓜ+(2t^3)/3]_0^1=1/4+2/3
通分得：
1/4+2/3=3/12+8/12=11/12
所以
(2) ∫_(C_2)▒F┴⃗ ⋅dr ⃗=11/12
________________________________________
最後答案
(1) 5/6
(2) 11/12
這題也順便看出：同一起點終點但不同路徑，答案不同，表示這個向量場與路徑有關。
解題關鍵：用散度定理
因為 S 是封閉曲面，所以直接用 高斯散度定理：
∯ₛ F⃗ · dA⃗ = ∭ᵥ div(F⃗) dV
其中 V 是單位球
x² + y² + z² ≤ 1
________________________________________
第一步：先求 div(F⃗)
散度定義：
div(F⃗) = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z
其中
F₁ = x + y + e^(z²)
F₂ = y + cos(x²)
F₃ = z + ln(5x² + 7y² + 9)
分別微分：
∂F₁/∂x = 1
因為 y、e^(z²) 都和 x 無關
∂F₂/∂y = 1
因為 cos(x²) 和 y 無關
∂F₃/∂z = 1
因為 ln(5x² + 7y² + 9) 和 z 無關
所以
div(F⃗) = 1 + 1 + 1 = 3
________________________________________
第二步：積分 over 單位球體
因此
∯ₛ F⃗ · dA⃗ = ∭ᵥ 3 dV = 3 ∭ᵥ dV
而單位球體體積為
Vol(V) = (4/3)π(1³) = 4π/3
所以
∯ₛ F⃗ · dA⃗ = 3 × 4π/3 = 4π
________________________________________
答案
∯ₛ F⃗ · dA⃗ = 4π
「為什麼那些看起來很複雜的 e^(z²)、cos(x²)、ln(...) 最後都沒影響答案」。
因為封閉曲面的通量可用散度定理化成體積分，而體積分真正計算的是 div(F⃗)，不是直接把 F⃗ 的每一項都拿去積分；這題中 e^(z²)、cos(x²)、ln(5x²+7y²+9) 雖然看起來很複雜，但它們分別出現在 i、j、k 分量中時，對散度所需要的偏導數 ∂/∂x、∂/∂y、∂/∂z 都剛好等於 0，因為它們不是依賴那個分量自己的方向變數，所以不會影響局部的淨流出量。換句話說，散度只看「每個分量沿自己方向有沒有膨脹或收縮」，而這些複雜項都只是跨方向變化，不造成淨流出，因此最後答案只剩 1 + 1 + 1 = 3。
