我們的生活充斥著各式各樣的統計數據，選舉的得票率、肺炎的治癒率等。不過，數學統計有時候會違背我們的直覺。本文要介紹的是數學統計的一個詭異現象「阿拉巴馬」悖論。讓我們用立法院席次分配的案例來看看。
不分區立委的席次分配
立法院總共有 113 個席次，其中不分區立委有 34 席。2020 年第十屆立法委員選舉結果，不分區的席次，民進黨和國民黨各得到 13 席、台灣民眾黨 5 席、時代力量 3 席。這些席次分配的方法是「最大餘數法」，計算的步驟是這樣：
- 列出每個政黨的得票數（得票超過 5% 門檻的政黨）。
- 除以這些政黨的總得票數，算出得票率。
- 再乘以不分區的席次數量（34 席），整數部分就是第一階段的席次數。
- 如果席次還有剩，就依序分配給小數部分比較大的政黨，這是第二階段。
- 把兩個階段的席次數加在一起，就是總席次。
立法院不分區的阿拉巴馬悖論
現在試想一個情境：如果我們把不分區總席次增加 1 席，提高到 35 席，那會發生什麼事？從這場選舉的結果來計算，民進黨的席次會變多，取得 14 席，其他政黨席次數量不變。因此，我們應該可以達成一個暫時性的結論：當總席次數量增加，各政黨的席次數量會增加或是持平。目前看到這裡或許都非常合理。不過，在某些特殊的情境下，會違背上面的結論。也就是說，當總席次增加，有些政黨的席次反而減少。聽起來很怪嗎？以下用實際數據來計算。
假設不分區席次總共只有 16 席，各政黨的得票數相同，依照最大餘數法來分配，結果會是「民 6、國 6、眾 2、時 2」。但是，不分區席次如果是 17 席，結果會變成「民 7、國 7、眾 2、時 1」。你發現了嗎？當總席次數量提高，民進黨和國民黨的席次都增加，但時代力量反而減少了。
為什麼會發生悖論？
這就是阿拉巴馬悖論 Alabama Paradox，或稱分配悖論Apportionment Paradox。1880 年，美國人口普查局的官員在計算各州眾議院議員席次時發現，如果眾議院總共 299 席，阿拉巴馬州可以分到 8 席；但如果總席次有 300 席，阿拉巴馬州只能分到 7 席。
當總席次數量增加，有些政黨或有些州的席次反而減少。所以為什麼會發生這個悖論？這是因為有一部分的席次依照「餘數」來分配。
從上面的例子來看，當總席次是 16 席時，時代力量分配份額的餘數最大，所以能得到多出來的一個席次。可是，因為民進黨和國民黨的得票率高，他們的餘數也增加的比較快（時代力量一次只增加 0.09，但國民黨和民進黨分別增加 0.386、0.394）。所以，當總席次提高到 17 席時，他們的餘數就超越時代力量，各自搶下多出來的一席。
理論上，只要參與分配分配的政黨有三個或更多，而且是採用「餘數法」來分配，都無法避免發生阿拉巴馬悖論。
你覺得這種分配法不公平嗎？其實不見得。餘數法的精神是讓每個政黨的得票率和席次率能夠盡量貼合，讓席次更如實呈現民意。雖然看起來小黨可能有損失，但其實小黨也有機會多得席次。
另一方面來看，每次選舉的席次數量都在選舉前就決定，遊戲規則已經達成共識，從制度上來看不存在這種「假設」席次更多或更少的議題。這些假設也都應該當成各自獨立的事件，單獨來看都相當合理，只有串在一起看才會感覺奇怪。
補充一點，日本採用的分配方法是頓特法，不會發生阿拉巴馬悖論，總席次增加，也不會有政黨的席次減少。不過，這是一個對小黨比較不有利的制度。可參考這篇日本眾議院選舉制度的介紹文。
最後，我在計算時發現，如果這次台灣民眾黨少拿 7000 票，席次分配就會非常接近阿拉巴馬悖論。當總席次 34 席時，各政黨的席次和現在一樣，但如果總席次有 35 席，藍綠兩黨就會各加 1 席，民眾黨剩下 ４ 席。如果真的發生這種情況，或許社會會有一番論辯。
所以說，每張票都非常重要。選舉，請記得去投票。
📑參考
🛒 延伸閱讀
- 另一篇統計悖論：數據說真話？揭穿統計的幻術──辛普森悖論
