中學以下的素養教育與經驗談：國二上數學篇──因式分解與一元二次方程式（上）
每篇都要再次說明，所有的教學方法與手段，完全要看：
- 個人因素
- 社經背景
- 對應教材與年齡
沒有百分百適用，也不會有一招行天下的密技，最大差異在於針對個人或是多人數上課。而且不管多好的教材，只要學生本身完全沒有學習的意願，都是沒有用的，這時候就得要換其他方式，不能只看教材與方式。
數學在二上後半，遇到了一個連貫的主題，因式分解再接一元二次方程式。對一年級有基礎的人來說，問題往往不大，但就是這個基礎兩字，通常國一爆掉的，就筆者個人經驗，學生都是放棄，父母怎樣逼都沒用，送補習班也只是聊勝於無。
所以怎麼辦？建議，找安親化的補習班或家教，不要再管進度了，因為他就是已經跟不上，逼著做沒意義，基本作業完成就好，不會的就慢慢追上來。畢竟放到會考來說，A跟B的落差很難追，而不要落到C卻很簡單，想要到B+以上，可以多點優勢，都可以努力來達成。
那麼，讓我們開始進入，因式分解的常見問題。
因式分解：認知還是要靠練習
如果國一，對因數分解、因數倍數很熟悉的同學，因式倍式以及因式分解，會比較得心應手，只不過是「數字改成方程式」。但有些人跨不過去，扣掉基礎不熟的人，跨不過去的大多出在對「數字」與「多項式」轉換認知的困難。
有沒特效藥？老話一句，沒有。拜託多練一些基礎題，抓到那個感覺，而不要練進階題。
沒記住基本概念？動手累積練習
首先，因式倍式單純講解是問題不大的，例如：
(x-1)(x-2)=x^2-3x+2
x-1 與 x-2 都是 x^2-3x+2 的因式，而x^2-3x+2則是x-1與x-2的倍式。這通常不會有人弄錯，比較常見的是忽略掉基本概念，也就是「A式可以把B式整除，所以A式為B的因式」，x-1 能夠整除 x^2-3x+2，所以為其因式。
這個整除的概念很重要，筆者經驗上會搞不懂的學生，都是因為「用看的」，尤其在公因式的部分，想「看出」兩邊有一樣的式子，忘了能整除就是因式倍數的觀念。
基本概念很重要，有些老師會因為教太熟反而忘了，學生在這裡卡住的第一點是都用看的，家長或是老師若發現不對，他怎樣都不會，十之八九就是
「沒有動手算。」
請讓他把A式去除B式，列直式除法要求算到餘式，當餘式為零才能說是有因倍式關係。因為真的很多學生，只看多項式的外觀，覺得很像就認為有因式關係！
提不出公因式？動手累積練習
接著，最常見的問題，就是提不出公因式，筆者舉一個例子，師長們可能就秒懂問題所在。
(x-1)(x-2)+(-x+1)(2x-1)
這會有同學不知道怎麼提公因式，畢竟因式指的是要有一樣的多項式，上式左右兩邊哪裡一樣？
呃，變個號不就得了？如下：
這真的是個難關，多數卡住的就是轉不過來，因為他們習慣先看，看到很像的才去提出。筆者的建議是先提再說，以這些例子而言，問題出在不習慣動筆計算，若你強迫他先提出 (x-1)，反正另外括號內的鐵定不行，先試試看把後面 (-x-1)(2x-1) 拿去除以 (x-1)。
不管他是直接除還是乘開後再除，他最後都會發現差一個負號的事實，也就是筆者的意思，不是矇著眼睛先練再說，是要透過動手計算，抓到這種稍微改變後的公因式題目。
多數還不差的同學，其實是透過多年累積的練習量，自然感覺到這些微小差異，所以立刻看得出差一個負號、差兩倍、差二分之一等等。如下題，這真的要透過累積計算量才會看出來：
x^3(x+1)-x(x^2-2x)
這是比較簡單的類型，簡稱還沒有整理過的題目，正常的作法是先把後面的式子，先提出 x 變成 x^2(x-2)，再把兩邊的 x^2 提出。通常學生遇到需要整理過再提供因式的題目，就倒一大半。
原因很簡單，不去動手，用眼睛看，已經養成習慣。
十字交乘法：輔助驗證係數
最後，因式分解的終極難關，十字交乘法，這是一個教方法很簡單，練心法很困難的項目，如下面的基礎題型，正常老師要教的很細，應該都是這樣教的：
2x^2+3x+1
「因為 2x^2 只可能拆成 x乘以2x，所以這個2次式必定是由兩個(x+…)去乘以(2x+…)而來，然後常數項都是1，所以只可能是兩個1互乘……」
也就是透過拆解步驟，讓學生抓住十字交乘法的概念，而不是去記憶拆解的方法。但真的要教速解，筆者倒是覺得有一些技巧可以教，例如下式：
通常學生馬上就可以懂，拆出的兩個式子，2次項是 x 跟 3x，但在12上就會想很久，畢竟12要拆，又有正負號，可是有 1、12；2、6；3、4 好幾種拆法，好煩喔。
其實不會，因為一次項是5x，比12來得小，所以絕對不會是1、12這組，2、6跟二次項的 x 跟 3x 湊不出來，必定是3、4這組。簡單說就是在挑選數字的時候，採用只去記 x 跟誰配，先不要管比較大的 3x。以下解說一下思維，方便師長解釋給學生聽。
因為，x去乘以12分離的因數：
- 1、12這組的數字只會得到x跟12x
- 2、6這組去搭配，會得到2x跟6x
- 3、4這組可以得到3x跟4x
各位可以發現，數字跟乘出的數字較小，記憶也較快，通常去記得需要乘開的數字，再去想不乘開的，會比反過來麻煩。
像學生如果看到第一組x、12x，他再去看到3x怎麼配，就會想到不管怎麼乘，數字正負都湊不出5x，換2、6這組數字也一樣。只要學生四則運算沒有太慢，透過這種先抓小再看大的練習，不需要太多題目，他就可以很快抓到，這題要挑3、4這組再去配正負號。
又例如：
正確的解法是 (x-1)(5x+6)，也就是拆 1、6，不要挑 2、3。因為中間才1，如果先挑了2跟3，會發現另一個5x乘進去後絕對不會得到1x這個數字。
數感必須練習
上面講的有點複雜，因為跟數感有點關係，這是一種訓練怎樣抓到數字大小匹配的概念，還是老話一句，必須透過練習，很難天生擁有。而筆者建議先固定小的係數，是基於人對默記數字的習慣，小的總是比大的簡單，擴大比縮小找目標快。
真的要說十字交乘法怎麼練習？筆者也只能老實說，到了這個階段，已經是四則運算加上因數倍數跟前面多項式各種綜合，缺了一個都會導致越來越慢。除了努力，請不要輕信特效藥，真的有補習班年輕老師，會想出一些很特別的招式，讓你感覺很快就找到解題法。
這個嘛，沒有內功的招式，是很虛的。
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1.本文提供的三種解法,似乎後兩種在計算上比較輕鬆,但其實計算的難易可能因題目給的數字或條件不同,而有差異,不能一概而論。譬如,當一元二次方程式的兩根是整數,那用解法1最簡單,何須大費周章?
2.題(2)求立方和,解法3要利用計算平方和的結果,而解法2則不必,所以題目如果不要學生算平方和,
常常遊走在酒吧、夜店、酒館...等等，那些平時大家覺得會遇到的地方，很少有不錯的潛在對象。就我在美國這幾年與之後的朋友圈來看，各方面都很優秀的男生非常少去那些場所，他們更常去爬山、上健身房、吃tacos、甚至是去桌遊店...
party像是他們的全職工作，把糜爛生活和喝到爛醉當作是自己認識人脈的藉口。幾乎每個晚上都有聚會行程，不是在夜店就是在某些莫名其妙的會所裡面當人形背景。他們把這種糜爛的生活、喝得爛醉視為一種社交成就，還總是對外炫耀：「認識很多人脈，這都是為了事業鋪路」女生這時候會覺得這樣很帥而且為他們找藉口…
1. 過度依賴標準答案，缺乏對「錯誤」的認知能力：
- 很多碩博士生在學習時只專注於追求「正確答案」，往往在測驗中表現優異，甚至能輕鬆應對論文考核，但卻缺少反思的深度，對於正確答案背後潛藏的錯誤缺乏敏感度。這些學生熟練於背誦與模仿，卻無法深入理解或挑戰已有的知識體系。長期下來，他們往
1. 過度依賴他人的解法，忽略自主探索與實踐：
- 許多研究生在進行專題或研究時，傾向花大量時間搜尋「最佳解法」或仿效前人的經驗。然而，這些方法往往是為了他人的需求或特定情境設計，未必適用於自己。長期依賴外部的方案會讓學生缺乏主動性，無法培養自我探索的能力。真正適合自己的解法，需要透
1. 忽視時間管理，導致講座進度失控
許多博士生在準備講座時，未能合理分配各個環節的時間，結果在講座進行中出現時間超支或不足的情況。例如，演講部分可能過於冗長，佔用了原本留給討論的時間，或是整個講座結束得比預期早，讓聽眾感到意猶未盡。這種對時間掌控的失誤，會影響聽眾的體驗和對講座的評價。
面對數學的困難，許多學生總是會質疑為何要學這門學科。
本文以個人教學經驗，分享了數學在日常生活和未來規劃中的重要性，
並透過真實故事強調數學訓練思考邏輯的價值。
「為甚麼要學數學？以後又用不到。」
這篇文章是一個數學老師的回答。
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1.本文提供的三種解法,似乎後兩種在計算上比較輕鬆,但其實計算的難易可能因題目給的數字或條件不同,而有差異,不能一概而論。譬如,當一元二次方程式的兩根是整數,那用解法1最簡單,何須大費周章?
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