報酬的故事

1. 賺錢大師

很久很久以前，有一個狂徒。
他總感覺自己的錢不太夠用，於是四處尋找賺錢大師。

在一個月黑風高的夜晚，狂徒走在路上，竟然遇到歹徒尾隨。

「跟著我不累嗎? 我沒錢。」
狂徒說。

「不，我知道你還有錢，拿出來。」
歹徒露出微笑，同時露出腰間的鋼刀。

「我確實還有錢，可是我準備去找賺錢大師，所以口袋裡面的一百萬不能給你。」狂徒解釋。

「你誤會了，我正是賺錢大師。看你氣質非凡，有發財的潛力，所以我才一直跟著你。快把錢給我，我很會投資。」歹徒也解釋。

「原來如此，那這些錢你拿去吧，以後請大師多幫忙。」
「有什麼問題? 我答應的事情保證做到。」

「真是痛快，我把你當兄弟了，遇到事情一定兩肋插刀。對了，你績效怎麼樣?」
「這個你不用擔心，反正報酬超過25%。」

「所以我的錢每年都會增加25%嗎?」
「不是，我說25%是平均報酬的意思，也就是每一年的報酬平均起來有25%。」
「好，那我先投資兩年，等你的好消息。」

歹徒笑了，狂徒也笑了。

2. 報酬差異

兩年後，狂徒打電話給歹徒，要把錢拿回來。

「大師啊，我想要拿回報酬了，你先向我彙報這些年的績效。」
「好的。第一年，我虧損了98%，第二年，我賺了150%。因此兩年平均下來，報酬率是.......26%」歹徒回答。

(-98+150)÷2
=52÷2
=26

「感謝歹徒兄，前面我沒聽到，但年化績效26%很厲害，這樣我的100萬就變成159萬了。我們約在村外小橋碰頭。」說完馬上掛掉電話。

「什麼159萬? 狂徒你算錯了! 我根本沒賺那麼多......怎麼沒聲音?」歹徒發現電話被掛掉了，也趕緊出門。

現在，讓我們拿出紙筆，看看是誰算錯。

按照狂徒的計算方法，如果年化績效有26%，那兩年後大概是1.59倍。
也就是說，他的100萬會變成159萬左右。

(1+0.26)×(1+0.26)
=1.26×1.26
=1.5876

不過按照歹徒的說法，第一年虧損98%，第二年賺了150%，那兩年後會變成5%
換句話說，100萬實際上剩下5萬。

(1-0.98)×(1+1.5)
=0.02×2.5
=0.05

3. 算術和幾何

差距太大，歹徒沒辦法解釋，他準備跑路，奪門而出。

慌慌張張的跑過小橋，歹徒腰間的鋼刀還掉入河中。
這時，河面上緩緩冒出一個人，手中拿著一把金刀和一把銀刀。

「狂...狂徒? 童話故事不是寫金銀斧頭嗎? 你怎麼拿刀?」歹徒嚇了一跳。
「我的159萬呢?」狂徒說。
「呃...沒有，你的100萬只剩5萬。」
「好吧兄弟，我說過出事情一定把你兩肋插刀，所以，刀我拿了兩把。」

「等一下，誤會大了，我說的是算術平均報酬，你說的是幾何平均報酬，兩種報酬不一樣。」歹徒說。
「哪裡不一樣，你最好解釋清楚。」

算術平均數，是把一些數字加起來，再將總和平均分配。
例如1, 2, 3, 4, 5，總共5個數字，而總和是1+2+3+4+5=15
我們希望找到一個數字，讓五個它相加起來，剛好也等於15.
因此，算術平均數=15÷5=3

至於幾何平均數，則是把一些數字乘起來，再將乘積平均分配。
例如1, 2, 4，總共3個數字，乘積是1×2×4=8
既然幾何平均數連乘三次要等於8，所以答案就是2

「算術平均≧幾何平均，而年化績效就和幾何平均有關係。」歹徒說著，還畫了一張圖給狂徒看。

這是兩數關係的簡易證明。
由相似三角形的關係可以知道幾何平均值，由圓半徑可以知道算術平均值。
由老畢定理知道除非A=B，否則幾何平均會小於算術平均。

「另外注意，報酬率和變化倍率差一倍，例如賺三倍的報酬率是200%而不是300%。」歹徒繼續講解。

「懂了，所以通常算術平均報酬會比較好看，而幾何平均報酬比較貼近真實狀況。」狂徒總結。

「沒錯，長久下來，我們傾向看一段時間內的幾何平均報酬，例如年化績效。」歹徒回答。

「你說的我懂，可是我的錢回不來了，怎麼辦? 」狂徒問。
「沒辦法，市場波動就是會造成兩種報酬率的差異。波動越大，兩者差異越大。」歹徒回答。

「就像這顆蘋果，現在我咬一口，它就永遠沒辦法復原了。看這裡，只要你用心領悟市場的奧妙，賺錢的機會還很多。你懂市場，市場就會幫你。」歹徒從身上拿出一顆蘋果，邊吃邊說。

「用心......領悟......幫我?」

數學上，兩種平均報酬確定會有差異，但是元凶真的是「波動」嗎?
如果算術平均和波動都固定，可以算出幾何平均嗎?
有沒有辦法減少波動帶來的損失，甚至藉此獲利?

一連串的問題出現在狂徒腦中，不過他看著眼前的蘋果，再看了手上的金刀銀刀，很快做出了決定。

4. 新的旅程。

「狂徒，你帶著行李要去哪裡?」
「我要去找新的賺錢大師，各位鄉親父老再見了。」

「你剛被騙100萬，還敢到處跑?」
「對啊，而且我看你換最新版iPhone，錢最好省著點花。」
村民看著狂徒，議論紛紛。

「iPhone? 喔，還得感謝歹徒出主意。這是我用心換來的，還有剩。」
狂徒走了，頭也不回。

「他剛剛說怎麼換來的?」
村民你看我我看你，又討論了一陣，漸漸散去。

「用心換來的，還有腎。」
狂徒看著身後的小村，笑了。

他笑得開懷，笑得狂妄。
他相信這次一定能找到真正的賺錢大師。

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